Ються функцій в статечні ряди
1.Ряд Тейлора - Якщо функція f (x) має похідні будь-яких порядків в околі точки, то можна записати розкладів функційf (x) за ступенями (). (1)
(1) - називається поруч Тейлора.
Якщо у формулі (1) покласти, то отримаємо розкладання по степенямx. яка називається поруч Маклорена. т.е .:
Формулу (1) можна записати у вигляді:,
де, - многочлен Тейлора.
, , - залишковий член ряду Тейлора, записаний у формі Лагранжа. (3)
Ряд Тейлора можна формально записати для будь-якої нескінченно диференціюється в околиці точки, однак він може бути розбіжним або сходиться, але не до функцііf (x).
Теорема: Для того щоб ряд Тейлора (1) функції f (x) сходиться до функції f (x) в точці x необхідно і достатньо, щоб в цій точці залишковий член формула (3), наближався до нуля при. (4)
Завдання розкладання функції f (x) в статечної ряд зводиться до визначення значень x, при яких прагне до нуля. Якщо це зробити непросто, то слід використовувати інший спосіб, наприклад застосувати ознака Даламбера і Коші.
2.Разложеніе деяких елементарних функцій в ряд Маклорена - для розкладання функції f (x) в ряд Маклорена (2) треба:
1. Знайти похідні f (x). f (x) і т.д. fn (x);
2. Обчислити їх значення в точці;
3. Підставити в ряд (2);
4. Знайти інтервал збіжності ряду чи знайти інтервал (-R, R). в якому залишковий член ряду прямує до нуля. Ці інтервали збігаються;
Таблиця основних розкладів елементарних функцій в ряд Маклорена:
32.Разложеніе в ряд Маклорена функцій еx. sin X.
:
1. Знаходимо похідні:;
;
2. Обчислимо значення функції в 0:;
;
;
;
3. Підставляємо в ряд Маклорена:;
4. Знаходимо радіус збіжності:; Інтервал збіжності.
:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
33.Пріложеніе статечних рядів. Наближене обчислення значень функцій. Обчислити sin1 з точністю δ = 10-3.
Наближене значення обчислення значень функції: Нехай потрібно обчислити значення функції f (x). при, із заданою точністю. Якщо функціюf (x) в інтервалі (-R, R) можна розкласти в степеневий ряд: і, тобто, то точне значеніесумме цього ряду, а наближене значення дорівнює частковій сумі цього ряду. Точність цього рівності збільшується з ростомn. Абсолютна похибка цієї рівності дорівнює:, де- залишок ряду. Таким чином, оцінивши залишок можна знайти помилку. А для Знакозмінні ряду :.
;
. Цей ряд сходиться за ознакою Лейбніца.
Порівняємо кожен ряд з ::;
:;
:; - цей в суму не включається.