Розкладання в ряд Маклорена основних елементарних функцій
Лекція 15. Ряд Тейлора.
Поруч Тейлора називається статечної ряд виду (передбачається, що функція є нескінченно дифференцируемой).
Поруч Маклорена називається ряд Тейлора при, тобто ряд.
Теорема. Статечної ряд є поруч Тейлора для своєї суми.
Доведення. Нехай і статечної ряд сходиться в інтервалі. Підставами в розкладання, отримаємо.
Так як статечної ряд сходиться рівномірно всередині інтервалу збіжності, ми можемо його диференціювати почленно. Отриманий ряд буде сходитися в тому ж інтервалі, так як радіус збіжності при диференціюванні не змінюється. Його знову можна диференціювати почленно і т.д. Обчислимо коефіцієнти в статечних рядах, отриманих почленного дифференцированием. =,
, , ,
, , ,
Продовжуючи цей процес, отримаємо. Це - коефіцієнти ряду Тейлора. Тому статечної ряд є ряд Тейлора.
Слідство. Розкладання функції в статечної ряд єдино.
Доведення. За попередньою теоремою коефіцієнти розкладання функції в статечної ряд визначаються однозначно, тому розкладання функції в статечної ряд єдино.
Запишемо розкладання в ряд Маклорена основних елементарних функцій, обчислюючи коефіцієнти розкладання по формулі, де.
,
(Інтегруючи попередню формулу)
, .
Нехай записано розкладання функції в статечної ряд. Виникає питання, чи завжди це розкладання (статечної ряд) сходиться саме до цієї функції, а не до будь-якої іншої.
Теорема. Для того щоб ряд Тейлора сходився до тієї функції, по якій він побудований, необхідно і достатньо. щоб залишковий член формули Тейлора, наближався до нуля при.
Доведення. Запишемо формулу Тейлора, відому з 1 семестру
Необхідність. Позначимо Sn - часткову суму ряду Тейлора.
.
Якщо ряд Тейлора сходиться до, то. Але за формулою Тейлора. Отже,.
Достатність. Якщо, то, а - часткова сума ряду Тейлора. Тому ряд Тейлора сходиться саме до функції.
Теорема. Нехай всі похідні функції обмежені в сукупності однієї константою. Тоді ряд Тейлора сходиться до функції.
Доведення. Оцінимо залишковий член формули Тейлора
, так як показова функція зростає повільніше, ніж n. Тому (за попередньою теоремою) ряд Тейлора сходиться до функції.
Як приклад застосування теореми розглянемо розкладання в ряд Маклорена функцій sin x, cos x. Ці ряди сходяться до функцій, так як їх похідні обмежені в сукупності одиницею на всій осі.
У розкладанні функції e x на відрізку [a, b] всі похідні функції обмежені константою e b. тому ряд для функції e x сходиться до неї на будь-якому кінцевому відрізку.
Ряди для функцій sh x, ch x можна отримати лінійною комбінацією експонент, отже, ряди для цих функцій сходяться до них на всій осі.
Розглянемо розкладання в ряд функції. Припустимо, що ряд сходиться до функції. Можна, диференціюючи ряд почленно, встановити справедливість співвідношення (виведіть його в якості вправи). Вирішуючи це диференціальне рівняння, отримаємо.