ґратчасті функції
Ґратчасті функції.
Введемо поняття гратчастої функції часу або, в скороченою записи, значення якої визначено в дискретні моменти часу де - ціле число, період повторення. Операція заміни неперервної функції гратчастої
показана на рис. 2.7 Зображені на рис. 2.7, б ординати представляють собою так звані дискрети вихідної неперервної функції при (рис. 2.7, а). Дискрети можуть бути також визначені для зміщених моментів часу. Зсув може бути позитивною або негативною величиною при виконанні умови. Відносне зміщення по модулю менше одиниці.
Освіта зміщеною гратчастої функції або, в скороченою записи, з безперервної функції для випадку зображено на рис. 2.7, в.
В подальшому викладі вважатимемо, що в гратчастої функції аргумент і параметр У разі необхідності розгляду функції з негативним параметром дискретне час можна представити у вигляді. Тоді ґратчаста функція може бути записана у вигляді де
Гратчаста функція не обов'язково повинна формуватися з деякою вихідної безперервної. Будь-яка числова послідовність деякої величини, певна в дискретні рівновіддалені моменти часу, може бути представлена у вигляді гратчастої функції.
Зворотній завдання - формування безперервної функції з гратчастої - не може бути вирішена однозначно, так як функції, заданої в дискретні моменти часу, може відповідати безліч безперервних функцій. Безперервні функції, що збігаються із заданими дискрети, називаються огинають гратчастої функції.
Аналогом першої похідної безперервної функції для гратчастої функції є або перша пряма різниця
або перша зворотна різниця
Обидві ці різниці показані на рис. 2.8. Різниці можуть бути визначені і для зміщених ґратчастих функцій Однак формули для тут і далі виявляються ідентичними, внаслідок чого в подальшому викладі прийнято
Пряма різниця визначається в момент часу щодо майбутнього значенням гратчастої функції при. Це можна зробити в тих випадках, коли майбутнє значення відомо. Зворотній різниця визначається для моменту часу за минулим значенням гратчастої функції в момент часу
Аналогом другої похідної безперервної функції для гратчастої функції служать другі різниці: пряма
Наведені вище зауваження щодо можливості обчислення прямого і зворотного різниць зберігають свою силу і тут.
Мал. 2.8. Пряма і зворотна різниці.
Можуть визначатися і вищі пряма і зворотна різниці. Для обчислення різниці можливе використання рекурентних співвідношень
або формул загального вигляду
де біноміальні коефіцієнти (число сполучень)
Зворотні різниці мають важливу особливість. Якщо ґратчаста функція визначена тільки для позитивних значень аргументу, т. Е. При то, як випливає з (2.23), в точці різницю
для будь-якого цілого позитивного
Аналогами інтеграла неперервної функції в межах від 0 до для гратчастої функції є неповна сума
Відмінність (2.27) від (2.26) полягає в тому, що значення в момент часу також бере участь у формуванні результату.