Графік функції багатьох змінних
ГЛАВА 1. ФУНКЦІЇ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ
§ 1.1. Поняття функції багатьох змінних. Графік і лінії рівня функції двох змінних.
Визначення функції багатьох змінних
Визначення. Мінлива називається функцією двох змінних і. якщо кожній парі значень двох незалежних один від одного змінних величин і з деякою області відповідає певне значення. .
Визначення. Змінна величина називається функцією від змінних. якщо кожному набору цих незалежних один від одного змінних величин відповідає єдине значення змінної. . .
Будь-яка функція кількох змінних стає функцією меншого числа змінних, якщо частина їх зафіксувати. Наприклад, функції. де і постійні, є функціями відповідно трьох, двох і однієї змінної.
Надалі будемо розглядати, в основному, функції двох змінних.
Графік функції багатьох змінних. лінії рівня
Визначення. Безліч всіх точок. при яких має сенс, називається областю визначення. а безліч значень. прийнятих функцією при. називається областю зміни або безліччю значень функції. Лінія, що обмежує область. називають межею області. Точки області, що не лежать на кордоні, називаються внутрішніми. Область, що складається з одних внутрішніх точок, називається відкритою. Область з приєднаною до неї кордоном називається замкнутою. позначається.
Для наочного геометричного уявлення використовують лінії рівня для функції двох змінних та поверхонь рівня для функції трьох змінних.
Визначення. Безліч точок простору з координатами при всіх визначає деяку поверхню, яка називається графіком функції.
Визначення. Лінією рівня функції двох змінних називається безліч всіх точок площині. в яких функція приймає постійні значення, тобто . де - постійна.
Визначення. Поверхнею рівня функції трьох змінних називається безліч всіх точок площині. в яких функція приймає постійні значення, тобто . де - постійна.
Приклад 1.1.1 Висловити обсяг прямокутного паралелепіпеда, вписаного в кулю радіуса як функцію двох його вимірів і. Знайти область визначення цієї функції.
Виходимо з побудованого креслення (рис.1). Позначимо два виміри, скажімо,. Нехай - радіус кулі, тоді.
Обсяг паралелепіпеда дорівнює. і нам треба висловити через. З маємо. а з отримуємо. Значить,. а тоді - шукана функція двох змінних.
Її область визначення:. т. е. коло радіуса з центром в початку координат.
Під функцією будемо також розуміти функцію точки з координатами і. Значним функції в точці позначають і називають приватним значенням функції.
Приклад 1.1.2. Дано:. знайти:
А) Щоб знайти. треба в вираженні для підставити і виконати зазначені дії. Маємо.
Приклад 1.1.3. Дано:. Знайти.
Із треба, що
Приклад 1.1.4. Знайти область визначення і множину значень функції. Побудувати графік цієї функції і лінії рівня.
Дія вилучення кореня можливе за умови. Це нерівність визначає замкнуте коло радіуса з центром в початку координат.
Ця функція визначається рівнянням сфери. а значить її графіком є верхня півсфера (рис.2). Лініями рівня є окружності за умови. Звідси, зокрема, випливає, що безліч значень функції - відрізок
Приклад 1.1.5. Знайти область визначення функції
Область визначення цієї функції задається нерівностями. Перші два нерівності визначають квадрат в площині. а умова Rозначает, що кожна пряма, що проходить через точку квадрата перпендикулярно йому, належить області визначення. Значить, - нескінченний в напрямку паралелепіпед (рис.3).
Приклад 1.1.6. Знайти лінії рівня функції.
Лінії рівня визначаються рівнянням. Це полупарабола, розташована в першій чверті прі. у другій чверті площину при. і піввісь якщо
Вправи до §1.1.
1) Висловити площа равнобочной трапеції як функцію трьох величин: довжин підстав і і збоку.
2) Висловити площа трикутника як функцію довжин двох його сторін і за умови, що відомий напівпериметр трикутника
3) Висловити обсяг конуса як функцію його утворює і висоти. Вказати область визначення цієї функції.
4) Дана функція Знайти:
5) Для функції знайти:
8) Знайти і зобразити області визначення наступних функцій:
9) Знайти лінії рівня даних функцій:
§ 1.2. Межа функції декількох змінних в точці. Неперервність функції в точці і на множині.
Межа функції в точці
Визначення. Безліч всіх точок площини, координати яких задовольняють нерівності. називається -окрестностью точки. Іншими словами, -окрестность точки - це внутрішні точки кола з центром і радіусом.
Визначення. Нехай функція визначена в околиці точки. крім, може бути, самої цієї точки. Число називається границею функції при. якщо для будь-якого існує таке, що для всіх і задовольняють нерівності виконується нерівність. Записують: або.
З визначення випливає, що якщо межа існує, то він не залежить від шляху, по якому прагне к.
Приклад 1.2.1. Знайти межа.
Будемо наближатися до по прямій. де-деякі число. Тоді .Функція в точці межі не має, так як при різних значеннях межа функції не однаковий.
Межа функції двох змінних має ті ж властивості, що й межа функції однієї змінної.
Приклад 1.2.2. Знайти межа.
Виходячи з того, що при. використовуючи відому формулу і одна з властивостей межі. легко робимо висновок, що.
Приклад 1.2.3. Обчислити межа.
Якщо. то. тобто -Величина нескінченно мала. Множники і є величинами обмеженими, а тому (твір нескінченно малої на величину обмежену є величина нескінченно мала). Тут вважаємо і. .
Приклад 1.2.4. Обчислити межа.
Позначимо. Тоді при маємо. Отже,.
Приклад 1.2.5. Обчислити межа.
Умова перетворимо в умова за допомогою підстановок. Отримуємо. З нерівності Коші маємо. А тоді. і тому . І оскільки. то робимо висновок, що.
Неперервність функції в точці
Визначення. Функція називається неперервною в точці. якщо вона:
a) визначена в цій точці і її околиці,
c) ця межа дорівнює значенню функції в. тобто або.
Приклад 1.2.6. Неперервна функція при.
Перевіряємо умови безперервності функції в.
1. Функція визначена в околиці цієї точки.
2.. так як маємо. а обмежена.
3. Межа в точці дорівнює значенню функції в цій точці.
Функція неперервна в точці. Зауважимо, що ця функція неперервна в кожній точці як комбінація безперервних елементарних функцій.
Функції, неперервні на безлічі
Функція, безперервна в кожній точці деякої області, називається безперервної в цій області. Точки, в яких порушується умова безперервності, називаються точками розриву цієї функції. Точки розриву можуть утворити цілі лінії розриву. Так, функція має лінію розриву.
Користуючись визначенням безперервності і теоремами про межах, можна довести, що арифметичні операції над безперервними функціями і побудова складної функції з безперервних функцій призводить до безперервних функцій-подібні теореми мали місце для функції однієї змінної.
Визначення. Областю називається безліч точок площині, що володіють властивостями відкритості та зв'язності.
Властивість відкритості. кожна точка належить їй разом з деякою околицею цієї точки.
Властивість зв'язності. будь-які дві точки області можна з'єднати безперервної лінією, цілком лежить в цій області.
Визначення. Точка називається граничною точкою області. якщо вона не належить. але в будь-який околиці її лежать точки цієї області. Сукупність граничних точок називається кордоном. Область з приєднаною до неї кордоном називається замкнутої областю і позначається. Область називається обмеженою. якщо всі її точки належать деякому колу радіуса. В іншому випадку область називається необмеженою.
Прикладом необмеженої області може служити безліч точок першого координатного кута. Прикладом ограніченной- -окрестность точки.
Теорема 1.2.1. Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області, то вона в цій області:
a) обмежена, тобто існує таке число. що для всіх точок в цій області виконується нерівність;
b) має точки, в яких бере найменше та найбільше значення;
c) приймає хоча б в одній точці області будь чисельне значення, укладену між і.
Вправи до §1.2.
1) Обчислити межі:
Приватні похідні, взяті з різних порядків, називаються змішаними.
Аналогічно визначаються приватні похідні 3-го, 4-го і т.д. порядків.
Приватні похідні функції двох і більше змінних визначається за тими ж формулами і правилами, що і функції однієї змінної. Слід пам'ятати тільки одне правило: якщо по одній змінній диференціюючи, то інші вважаємо постійними.
Приклад 2.1.3. Знайти приватні похідні другого порядку функції
Так як і. то і. Змішані похідні і
Теорема 2.1.2 (Шварц). Якщо приватні похідні вищого порядку неперервні, то змішані похідні одного порядку, що відрізняються лише порядком диференціювання, рівні між собою.
Зокрема, для маємо
Диференціал функції. лінеаризація функцій
Визначення. Якщо функція має приватними похідними. безперервними в точці. то по теоремі Лагранжа для функцій однієї змінної отримуємо. Цей вислів є головною, лінійну частину приросту функції і називається диференціалом цієї функції в даній точці.
Позначення:. Тут. Прийнято також позначення: - приватні диференціали функції. тоді
- повний диференціал функції