Головні площадки і головні напруження - студопедія
Нормальні і дотичні напруження на похилій площадці залежать від її положення, тобто від напрямних косинусів l, m, n.
Майданчики, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю і діють тільки нормальні напруги, називаються головними. Нормальні напруги на цих майданчиках називаються головними напруженнями.
Припустимо, що похила майданчик з направляючими косинусами l, m, n є головною, тобто вектор нормалі до похилій площадці збігається з вектором повної напруги. Тоді нормальна напруга на цьому майданчику одно повного напрузі, а дотичне напруження дорівнює нулю (рис.22). Проекції повного напруги на координатні осі рівні:
Використовуючи вирази, отримані для похилої площадки, - (31) і (32), маємо:
У даних рівняннях чотири невідомих (напрямні косинуси l, m, n і головне напруга s), тому необхідно четверте рівняння:
l 2 + m 2 + n 2 = 1.
Система рівнянь має ненульовий розв'язок (нульове не влаштовує через четвертого рівняння системи), коли дорівнює нулю головний визначник системи:
Згрупуємо доданки за ступенями головного напруги
Запишемо це рівняння в більш компактній формі
Введені позначення називаються інваріантами напруженого стану. Так як головні напруження в точці є фізичною характеристикою, то вони не залежать від вибору системи координат, а, отже, і значення інваріантів теж не залежать від вибору системи координат.
Вирішуючи кубічне рівняння (37), отримаємо три речових кореня - три головних напруги, які нумеруються в порядку убування: s1 ³ s2 ³ s3. Підставляючи величину головного напруги в систему (35), можна визначити положення головного майданчика, тобто визначити її напрямні косинуси. Три головних майданчика в точці взаємно перпендикулярні.