Нормальні напруги при вигині - студопедія
Для виведення основних розрахункових формул розглянемо окремий випадок плоского вигину балки - стан чистого вигину. Цей стан деформації спостерігається тоді, коли на якійсь ділянці балки діє тільки згинальний момент М х. а поперечна сила дорівнює Qy = 0.
Експериментальні дослідження балок при чистому вигині показують:
- плоскі перетину балки залишаються плоскими і після навантаження, випробувавши лише деякий поворот відносно один одного;
- поздовжні волокна балки не тиснуть на вище-і розташовані нижче волокна, вони або розтягнуті, або стислі;
- нейтральний шар, перпендикулярний площині симетрії балки, відокремлює область розтягнутих волокон від області стислих волокон.
На рис. 20 представлена схема деформації ділянки балки при чистому вигині.
Візьмемо на цій ділянці балки елемент, виділений двома перетинами II і II-II. що знаходяться на відстані dz друг від друга, і розглянемо характер його деформації (рис. 20а). При прийнятому позитивному знаку згинального моменту М х верхні волокна будуть стиснуті, а нижні - розтягнуті (рис. 20б).
Шар волокон, який не деформується при навантаженні, називають нейтральним. Зв'яжемо з ним площину xОz.
Кривизна нейтрального шару в результаті повороту поперечних перерізів II і II-II на кут d # 952; відносно один одного дорівнює (рис. 20в):
Відрізок cd (cd = ab = dz), віддалений від нейтрального шару вниз на відстань y. одержить збільшення довжини c'd'-cd. яке можна виразити через кривизну балки:
c'd '- cd = (# 961; + y) d # 952; - # 961; d # 952; = y # 952 ;. (4.4)
Його відносна поздовжня деформація буде з урахуванням (4.3) дорівнює:
тоді напруги # 963 ;. що викликали цю деформацію, будуть позитивні і за законом Гука при розтягуванні визначаються як
Тут враховано, що для нижньої зони розтягування координата у є негативною (рис. 21в).
При чистому вигині поздовжня сила N і вигинає момент щодо осі у -му відсутні (N = 0; Му = 0), але їх формальне визначення дозволяє зробити ряд висновків (рис. 21г):
Рівність нулю статичного моменту Sx площі перетину відносно нейтральної лінії (осі х) говорить про те, що нейтральна лінія проходить через центр ваги поперечного перерізу.
Нульове значення відцентрового моменту інерції перетину Jxy означає, що осі х і у є головними центральними. Отже, даний вид чистого плоского вигину реалізується тоді, коли балка деформується в головній площині. Значення згинального моменту в перерізі (з урахуванням знака моменту і положення осей х, у) є інтеграл:
Величина EJx називається жорсткістю балки при вигині. вона характеризує здатність конкретної балки чинити опір вигину. Підставляючи (4.9) в формулу (4.6), отримуємо формулу для знаходження значень напруг:
У формулі (4.10) знак «мінус» зазвичай опускається (він пов'язаний з вибором напрямку осей координат перетину і знаків згинального моменту). У розрахунках облік знака згинального моменту визначає зони розтягнутих і стиснутих волокон, а у характеризує відстань до відповідних волокон. Тому загальноприйнята форма запису залежності (4.10) наступна:
Таким чином. нормальні напруги в довільній точці поперечного перерізу прямо пропорційні величині моменту, що вигинає і відстані від нейтральної осі і обернено пропорційні моменту інерції перетину щодо осі.
Максимальна напруга при згині в перерізі балки виникає в точці, найбільш віддаленій від нейтральної лінії:
Величина Wx = Jx / | ymax | називається моментом опору перерізу при згині, вона розраховується відносно нейтральної (центральної) осі Ох поперечного перерізу. У найбільш же небезпечному перерізі балки уздовж осі z
тоді умова міцності за нормальними напруженням при вигині має вигляд:
Умова міцності (4.14) при вигині дозволяє вирішувати три основні типи завдань:
- проектувальний розрахунок - підбір перетинів балок (т. Е. Розрахунок Wx) при відомих навантаженнях (МХ) і матеріалі балки ([# 963;]) за формулою:
- перевірочний розрахунок - перевірка міцності балок за формулою (4.14);
- визначення допустимих зовнішніх навантажень:
Формула (4.11) виведена для чистого вигину.
При поперечному вигині в поперечних перетинах виникають і нормальні, і дотичні напруження.
Виникнення дотичних напружень супроводжується появою деформацій зсуву, в результаті чого поперечним перерізом балки перестають бути плоскими (гіпотеза Бернуллі втрачає силу). Крім того, при поперечному вигині виникають напруги в поздовжніх перетинах балки, т. Е. Має місце натиснення волокон друг на друга.
Більш детальні дослідження показують, що, незважаючи на це, формула (4.11) дає цілком надійні результати і при поперечному вигині.
4.5. Переміщення при вигині. диференціальне