Геометрія (7-9)

Властивості і ознаки паралельних прямих.

1.Аксіома паралельних прямих. Через дану точку можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.

2.Якщо дві прямі паралельні одній і тій же прямій, то вони паралельні між собою.

3. Дві прямі, перпендикулярні одній і тій же прямій, паралельні.

4. Якщо дві прямі перетнути третьою, то утворені при цьому внутрішні навхрест лежачі кути рівні; відповідні кути рівні; внутрішні односторонні кути в сумі складають 180 градусів.

5. Якщо при перетині двох прямих третьою утворюються рівні внутрішні навхрест лежачі кути, то прямі паралельні.

6. Якщо при перетині двох прямих третьою утворюються рівні відповідні кути, то прямі паралельні.

7. Якщо при перетині двох прямих третьою сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 градусів, то прямі паралельні.

Якщо на одній стороні кута відкласти рівні відрізки і через їхні кінці провести паралельні прямі, які перетинають другу сторону кута, то на другій стороні кута відкладуться також рівні відрізки.

Теорема про пропорційні відрізках.

Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, висікають на них пропорційні відрізки.

Ознаки рівності трикутників.

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Ознаки рівності прямокутних трикутників.

По двох катетам.

За катету і гіпотенузі.

За гіпотенузі і гострому куту.

За катету і гострому куту.

Теорема про суму кутів трикутника і слідства з неї.

Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 градусів.

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх не суміжних з нею кутів.

Сума внутрішніх кутів опуклого n- кутника дорівнює 180 (n-2).

Сума зовнішніх кутів n- кутника дорівнює 360 градусів.

Кути з взаємно перпендикулярними сторонами рівні, якщо вони обидва гострі або обидва тупі.

Кут між биссектрисами суміжних кутів дорівнює 90 градусів.

Бісектриси внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих і січній перпендикулярні.

Основні властивості і ознаки рівнобедреного трикутника.

Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.

Якщо два кути трикутника рівні, то він рівнобедрений.

У трикутник медіана, бісектриса і висота, проведені до основи, збігаються.

Якщо в трикутнику збігається будь-яка пара відрізків з трійок медіана, бісектриса, висота, то він є рівнобедреним.

Нерівність трикутника і слідства з нього.

Сума двох сторін трикутника більше його третьої сторони.

Сума ланок ламаної більше відрізка, що з'єднує початок першої ланки з кінцем останнього.

Проти більшого кута трикутника лежить більша сторона.

Проти більшої сторони трикутника лежить більший кут.

Гіпотенуза прямокутного трикутника більше катета.

Якщо з однієї точки проведені до прямої перпендикуляр і похилі, то

перпендикуляр коротше похилих;

більшої похилій відповідає велика проекція і навпаки.

Середня лінія трикутника. Відрізок, що з'єднує середини сторін трикутника, називається середньою лінією трикутника.

Теорема про середньої лінії трикутника. Середня лінія трикутника паралельна стороні трикутника і дорівнює її половині.

Теореми про медіану трикутника.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини.

Якщо медіана трикутника дорівнює половині сторони, до якої вона проведена, то трикутник прямокутний.

Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Властивість серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, описаного навколо трикутника.

Теорема про висотах трикутника. Прямі, що містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці.

Теорема про биссектрисах трикутника. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, вписаного в трикутник.

Властивість бісектриси трикутника. Бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.

Ознаки подібності трикутників.

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то трикутники подібні.

якщо дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні двом сторонам другого, а кути, укладені між цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.

Якщо три сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам іншого, то трикутники подібні.

Площі подібних трикутників.

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Якщо два трикутника мають рівні кути, то їх площі відносяться як твори сторін, що укладають ці кути.

У прямокутному трикутнику

Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на синус протилежного або косинус прилеглого до цього катета гострого кута.

Катет прямокутного трикутника дорівнює іншому катету, помноженому на тангенс протилежного або на котангенс прилеглого до цього катета гострого кута.

Катет прямокутного трикутника, що лежить в проти кута в 30 градусів, дорівнює половині гіпотенузи.

Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, протилежний цьому катету, дорівнює 30 градусів.

, де a, b- катети, а c- гіпотенуза прямокутного трикутника, r і R - радіуси вписаного та описаного кола відповідно.

Теорема Піфагора і теорема, зворотна теоремі Піфагора.

Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів.

Якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то трикутник - прямокутний.

Середні пропорційні в прямокутному трикутнику.

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним проекцій катетів на гіпотенузу, а кожен катет є середнім пропорційним гіпотенузи і своєї проекції на гіпотенузу.

Метричні співвідношення в трикутнику.

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Слідство з теореми косинусів.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх цих сторін.

Формула для медіани трикутника.

Якщо m- медіана трикутника, проведена до сторони с, то m = де a і b- інші сторони трикутника.

Сторони трикутника пропорційні синусів протилежних кутів.

Узагальнена теорема синусів.

Ставлення боку трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо трикутника.

Формули площі трикутника.

Площа трикутника дорівнює половині твори підстави на висоту.

a-підставу, h- висота трикутника.

2. Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними. S =

3. Площа трикутника дорівнює добутку його напівпериметр на радіус вписаного кола. S = pr.

4. Площа трикутника дорівнює добутку трьох його сторін, діленому на учетверённий радіус описаного кола. S =

5. Формула Герона: S =, де p- напівпериметр, a, b, c- сторони трикутника.

Елементи рівностороннього трикутника.

Нехай h, S, r, R - висота, площа, радіуси вписаного та описаного кіл рівностороннього трикутника зі стороною a. тоді

Параллелограммом називається чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.

Властивості і ознаки паралелограма.

Діагональ розбиває паралелограм на два рівних трикутника.

Протилежні сторони паралелограма попарно рівні.

Протилежні кути паралелограма попарно рівні.

Діагоналі паралелограма перетинаються і діляться точкою перетину навпіл.

Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то цей четирёхугольнік- паралелограм.

Якщо дві протилежні сторони чотирикутника рівні і паралельні, то четирёхугольнік- паралелограм.

Якщо діагоналі чотирикутника діляться точкою перетину навпіл, то цей четирёхугольнік- паралелограм.

Властивість середин сторін чотирикутника.

Середини сторін будь-якого чотирикутника є вершинами паралелограма, площа якого дорівнює половині площі чотирикутника.

Прямокутником називається паралелограм з прямим кутом.

Властивості і ознаки прямокутника.

Діагоналі прямокутника рівні.

Якщо діагоналі паралелограма рівні, то цей паралелограм - прямокутник.

Квадратом називається прямокутник, усі сторони якого рівні.

Ромбом називається чотирикутник, всі сторони якого рівні.

Властивості і ознаки ромба.

Діагоналі ромба перпендикулярні.

Діагоналі ромба ділять його кути навпіл.

Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, то цей параллелограмм- ромб.

Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони (підстави) паралельні. Середньою лінією трапеції називається відрізок, що з'єднує середини непаралельних сторін (бічні панелі).

Теорема про середній лінії трапеції. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює полуразность

Чудова властивість трапеції. Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень бічних сторін і середини підстав лежать на одній прямій.

Рівнобедрена трапеція. Трапеція називається рівнобедреної, якщо її бічні сторони рівні.

Властивості і ознаки рівнобедреної трапеції.

Кути при основі рівнобедреної трапеції рівні.

Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні.

Якщо кути при підставі трапеції рівні, то вона рівнобедрена.

Якщо діагоналі трапеції рівні, то вона рівнобедрена.

Проекція збоку рівнобедреної трапеції на підставу дорівнює полуразность підстав, а проекція діагоналі- напівсумі підстав.

Формули площі чотирикутника.

Площа паралелограма дорівнює добутку основи на висоту.

Площа паралелограма дорівнює добутку його сусідніх сторін на синус кута між ними.

Площа прямокутника дорівнює добутку двох його сусідніх сторін. S = ab.

Площа ромба дорівнює половині твори його діагоналей. .

Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми підстав на висоту. .

Площа чотирикутника дорівнює половині твори його діагоналей на синус кута між ними. .

Формула Герона для чотирикутника, біля якого можна описати коло: S = де a, b, c, d- боку цього чотирикутника, p- напівпериметр, S- площа.

Ставлення відповідних лінійних елементів подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності.

Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Теорема. У будь-якій формі правильного багатокутника можна вписати коло, і притому тільки одну.

Коло, вписане в правильний багатокутник, стосується сторін багатокутника в їх серединах.

Центр кола, описаного навколо правильного багатокутника, збігається з центром кола, вписаного в той же багатокутник.

Нехай - сторона правильного n- кутника, площа, Р- периметр, а й - радіуси вписаного та описаного кіл. тоді; ;

Окружністю називається геометричне місце точок площини, віддалених від даної точки, званої центром окружності, на одне й те саме додатне відстань.

Основні властивості окружності.

Діаметр, перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягують нею дуги навпіл.

Діаметр, що проходить через середину хорди, яка не є діаметром, перпендикулярний цій хорді.

Серединний перпендикуляр до хорди проходить через центр кола.

Рівні хорди віддалені від центру кола на рівні відстані.

Хорди окружності, віддалені від центру на рівні відстані, рівні.

Окружність симетрична щодо будь-якого свого діаметра.

Дуги кола, ув'язнені між паралельними хордами, рівні.

З двох хорд більше та, яка менш віддалена від центру.

Діаметр є найбільша хорда окружності.

Чудові властивості окружності.

Геометричне місце точок М, з яких відрізок АВ видно під прямим кутом (), є внутрішність круга з діаметром АВ без точок відрізка АВ.

Геометричне місце точок, з яких даний відрізок видно під даним кутом, є дві дуги рівних кіл (без кінців цих дуг).

Дотична до кола.

Пряма, що має з колом єдину спільну точку, називається дотичною до кола.

Дотична перпендикулярна радіусу, проведеному в точку дотику.

Якщо пряма a, що проходить через точку на колі, перпендикулярна радіусу, проведеному в цю точку, то пряма a- дотична до кола.

Якщо прямі, що проходять через точку М, стосуються окружності в точках А і В, то МА = МВ і

Схожі документи:

ін. "Геометрія. 10. прямих в просторі. Прізнакпараллельності двох прямих. Ознака перехресних прямих. Взаємне розташування двох площин. Прізнакпараллельності двох площин. Перпендикулярність прямої. і його властивості. 2. Піраміда.

перехресних прямих; свойствапараллельнихпрямих; визначення параллельностіпрямой і площини; прізнакпараллельностіпрямой і площини; визначення паралельності двох площин; прізнакпараллельності площин; свойствапараллельних.

Параллельностьпрямих і площин (13 год) Параллельниепрямие в просторі. Прізнакпараллельностіпрямих. Прізнакпараллельностіпрямой і площини. Прізнакпараллельності площин. Свойствапараллельності. Земляків А. Н. Геометрія в 10 класі.

прямих в просторі (прямі перетинаються, прямиепараллельни. прямі схрещуються), прямої і площини (пряма лежить в площині, пряма і площина перетинаються, пряма і площина паралельні), вивчити властивості і прізнакіпараллельностіпрямих.

Схожі статті