Геометричні величини в шкільному математичній освіті, поняття величини в шкільному курсі
Поняття величини в шкільному курсі математики
Щоб глибше пізнати навколишній нас цілісний, єдиний світ, недостатньо застосовувати тільки чуттєві методи. Опис явищ і процесів в природі реалізується також науковими методами. Ця ідея в деякій мірі закладена в концепцію всього шкільного навчання. В достатній мірі вона реалізується в шкільному математичній освіті, так як кількісні моделі того чи іншого процесу є найбільш адекватними. Характерним загальним поняттям всіх таких моделей є поняття «величина».
Поняття величини - одне з найважливіших загальнонаукових понять: величини вивчає не тільки математика, а й фізика, хімія та інші природні науки. Наприклад, у фізиці величини - швидкість, опір, в математиці - довжина, площа, об'єм; в інформатиці - обсяг інформації; в економіці - витрати, виручка, прибуток, собівартість; в техніці - продуктивність, витрата палива; в географії - обсяг опадів, атмосферний тиск; в хімії - молярна маса, молярний об'єм; в психології - коефіцієнт інтелекту та ін.
У словнику С.І. Ожегова Новомосковськ: «Величина то (предмет, явище і т.п.), що можна виміряти, обчислити». Однак спектр розуміння кожною людиною поняття «величина» досить широкий. Так, А. Н. Крилов писав: «Треба пам'ятати, що є безліч« величин », тобто того, до чого докладено поняття« більше »і« менше », але величин точно не вимірюваних, наприклад розум і дурість; краса і неподобство; хоробрість і боягузтво; винахідливість і тупість і т.д .; для вимірювання цих величин немає одиниць, ці величини не можуть бути числами ».
Загальне поняття величини - безпосереднє узагальнення конкретних величин. Інтуїтивно зрозуміло, що величина може бути більше або менше, дві однорідні величини можуть складатися, величину можна ділити на довільне натуральне число, її можна виміряти (порівняти з іншою величиною того ж роду, прийнятої за одиницю виміру). Однак сформулювати відповідь на питання, що таке величина в математичних термінах непросто і в рамках обов'язкової програми шкільне навчання не повинно давати відповідь на це питання. У навчанні мають справу з конкретними величинами. В подальшому тексті описово будуть перераховані аксіоми - властивості загального поняття величини і окремо представлені чотири аксіоми заходи величини, які виникають у зв'язку з вимірюванням величин.
В математиці поняття величини встановлює взаємозв'язки між найважливішими математичними поняттями - числом і фігурою.
При цьому можна виділити два аспекти:
· Величина дозволяє перейти від якісного описового до кількісного вивчення властивостей об'єктів, тобто математизировать знання про досліджуваному об'єкті;
· Кількісний опис - величина - представляється не тільки числом, але і обов'язково одиницею виміру.
Проблема вивчення величин в школі виділена в одну з основних змістовно-методичних ліній курсу геометрії основної школи.
В курсі геометрії основної школи вивчаються наступні геометричні величини: довжина відрізка, величина кута, довжина кола, довжина дуги, площі багатокутника і його приватних видів (прямокутника, трикутника, паралелограма, трапеції), площа кола.
Важливо зауважити, що в більшості шкільних підручників не робиться відмінності між поняттями конкретної величини (наприклад, «довжина») і її числовим значенням, отриманим після вимірювання. Тому кожне з понять «довжина», «площа», «обсяг» розуміється як дійсне число, яке задовольняє аксіомам заходи.
Програма висуває такі вимоги до підготовки учнів основної школи, що стосується вивчення величин:
· Учень повинен володіти практичними навичками використання геометричних інструментів для зображення фігур, а також для вимірювання довжин відрізків і величин кутів;
· Вирішувати завдання на обчислення геометричних величин (довжин, кутів, площ), застосовуючи вивчені властивості фігур і формули, приводячи аргументацію в результаті виконання завдання.
Проблема вивчення величин включає два основних питання:
1) що таке величина (довжина, площа та ін.) - формально-логічна сторона проблеми;
2) за допомогою яких інструментів вимірюється величина; за яким законом, правилом, формулою обчислюється числове значення цієї величини - прикладна сторона проблеми.
У школі основний упор робиться на прикладну сторону; учні мають справу з конкретними величинами, що ілюструють загальне поняття величини, однак, для профільних спеціалізованих класів, тих учнів, які продовжать вивчення математики, важливий і формально-логічний аспект проблеми вимірювання величин.
Розкриємо коротко і на доступному рівні формально-логічну сторону проблеми.
Вище було відмічено, що в математиці певні класи величин (клас скалярних величин, клас векторних величин і ін.) Мають абсолютно чітке, найчастіше аксіоматична, визначення. Дамо короткий опис аксіоматики скалярних величин, оскільки шкільні курси математики і фізики пов'язані найбільше саме з цим з класом величин.
Система скалярних величин задається аксіоматично наступними властивостями: порівнянністю, аддитивностью, впорядкованістю, коммутативностью і асоціативністю щодо складання, монотонністю, існуванням різниці, можливістю вимірювання. Ці властивості в явному вигляді не формулюються в школі, але виявляються в ході вирішення практичних завдань безпосередньо при роботі з моделями або з числовими значеннями величин.
Властивості величин, які проявляються в процесі вимірювання, описуються за допомогою так званих аксіом заходи Якщо якусь величину е прийняти за одиницю виміру, то інша величина подібного роду а подана в вигляді а = е, де - позитивне дійсне число - міра величини а при одиниці виміру е:
· Нормованих: існування фігури з заходом, що дорівнює одиниці;
· Невід'ємності: кожній фігурі ставиться у відповідність невід'ємне число;
· Інваріантності: рівні фігури мають рівні заходи;
· Аддитивности: міра фігури, складеної з кінцевого числа непересічних постатей, дорівнює сумі заходів цих фігур.
В курсі геометрії основної школи суворе аксіоматичне визначення величин не тільки неможливо, але і навряд чи доцільно. 11 Навіть у підручнику А.В. Погорєлова [12], в якому заявлено суворе аксіоматична побудова курсу (див. П. 2. 1), величини, представлені як периферійні питання, викладаються аксіоматично, а із залученням наочних міркувань. Проте, властивості, які виражають математичну сутність аксіом заходи, повинні бути відомі учням. Вони в явному або неявному вигляді знаходять застосування при вивченні конкретних геометричних величин. У навчанні також допускається для спрощення мови ототожнення заходи величини з самої величиною (міри довжини з довжиною, заходи площі з площею, міри об'єму з об'ємом). Тому кажуть «довжина відрізка - дійсне число» замість «міра довжини відрізка - дійсне число».
В якості основних етапів вивчення величин в основній школі можна виділити пропедевтичний і систематичний етапи, які і розглянемо нижче.