Гармонійні хвилі - студопедія
§2.1 Хвильовий процес. Хвильова функція.
Хвилею або процес або хвилею будемо називати будь-різне обурення поширюються в просторі при цьому форма обурення може змінюватися, але вона завжди повинна бути помітною.
Хвильові процеси описуються різними рівняннями. Розглянемо лише один із них.
Де - називається хвильової функцією.
Аналізованих рівняння є диференціальним рівняння приватних похідних 2-го порядку.
Розглянемо одновимірний випадок, коли:
Рішення цього рівняння будемо шукати у вигляді функції
Підставами цю функцію в наше рівняння:
І переконуємося. що вона є решеніем.-
Отримане рішення є обурення поширення уздовж осі X зі швидкістю v. Точно також - це обурення поширюється в протилежну сторону.
Загальне рішення рівняння буде:
Розглянемо тривимірний випадок.
Розглянемо сферически симетрична рішення:
В цьому випадку хвильове рівняння зручно переписати
Тоді хвильове рівняння матиме вигляд:
Отримаємо одномірне хвильове рівняння, рішення якого вже знайдено:
Рішення являє собою обурення створене в точці R = 0 і зменшується по амплітуді при поширення в нескінченність. Рішення описує обурення яке виникає з нічого на нескінченності і росте при наближення до центру. Таке рішення фізично неможливо. Тому в сферично симетричному випадки: -довільний функція.
Розглянемо хвильову функцію виду:, -циклічна частота хвилі. -хвильової вектор.
Функція називається гармонійної або монохроматичної хвилею.
Для того щоб розглянута функція була рішенням хвильового рівняння:
повинні задовольняти деякого рівняння: яке називається дисперсійним.
Для того щоб отримати це рівняння в нашому випадку підставами гармонійну функцію в рівняння, при цьому врахуємо, що
Вирішуючи це рівняння ми можемо знайти частоту як функцію K
Отримане рішення називається дисперсійним співвідношенням. Точки в просторі фази яких однакові.
утворюють поверхню яка називається хвильової або хвильовим фронтом. Як відомо градієнт будь-якої функції спрямований до поверхні на якій вона постійна.
Так як вектор До постійний за величиною і напрямком, то хвильова поверхня буде плоскою. Тому дана гармонійна хвиля називається плоскою гармонійної хвилею. При цьому напрямок поширення хвилі буде збігатися з напрямком.
Відстань на якому фаза хвилі змінюється на називається довжиною хвилі
Час протягом якого фаза хвилі змінюватись на називається періодом хвилі.
Нехай спрямований уздовж осі x. тоді формула для плоскої гармонічної хвилі буде мати вигляд:; .
Швидкість з якою рухається точка в просторі де фаза хвилі постійна називається фазою швидкістю хвилі. Для визначення цієї швидкості продифференцируем за часом умови постійної фази
Слід зауважити, що фазова швидкість це не швидкість математичної точки тому фазова швидкість може бути будь-який, тобто і більше швидкості світла.
Якщо фазова швидкість постійна. тобто не залежить від, то кажуть що немає дисперсії ..
Якщо фазова швидкість залежить від або говорять про наявність дисперсії.
Розглянемо сферически симетрично гармонійну хвилю, у такий хвилі хвильової фронт сферична поверхню. в кожній точці хвильового фронту спрямований до нього, тобто по радіусу. Все інше також як у плоскій хвилі.