Дослідити функцію і побудувати ескіз графіка
Побудова графіка довільної функції може бути як окремим завданням, так і допоміжної - наприклад, при вирішенні рівнянь графічним способом, або при вирішенні завдань з параметрами. Алгоритм дослідження функції та побудови її графіка такий: Знаходимо область визначення D f функції. Якщо область визначення функції симетрична відносно нуля тобто для будь-якого значення з D f значення також належить області визначення, то перевіряємо функцію на парність.
Якщо. то функція парна. Прикладом парної функції є функція. Якщо. то функція непарна. Прикладом непарної функції є функція. Знаходимо точки перетину графіка з осями координат.
Знаходимо нулі функції - це точки перетину графіка функції з віссю абсцис OX. Для цього ми вирішуємо рівняння. Коріння цього рівняння є абсциссами точок перетину графіка функції з віссю ОХ. Знаходимо точку перетину графіка функції з віссю ординат OY. Для цього шукаємо значення функції при. Знаходимо проміжки знакопостоянства функції. тобто проміжки, на яких функція зберігає знак.
Проміжки, на яких похідна негативна. є проміжками спадання функції. Точки, в яких похідна змінює знак з плюса на мінус, є точками максимуму. Точки, в яких похідна змінює знак з мінуса на плюс, є точками мінімуму.
Знайдемо точки перетину з осями координат. Знайдемо асимптоти графіка функції. Рівняння горизонтальної асимптоти функції має вигляд. де. Ступінь чисельника дробу на одиницю більше ступеня знаменника, тому не існує, і графік функції не має горизонтальної асимптоти. Рівняння похилої асимптоти має вигляд. Коефіцієнти і обчислюються наступним чином. Ступінь знаменника на одиницю більше ступеня чисельника.
Тобто рівняння похилій асимптоти має вигляд. Зауважимо, що, оскільки функція непарна, і ми знайшли, що. ми могли б відразу написати, що. Отже, відзначимо в нашій координатної площині точки мінімуму і максимуму функції і точку перетину графіка функції з осями координат. На малюнку нижче великими червоними кружками позначені точки, через які проходить графік функції. Тепер врахуємо проміжки зростання-спаду і проміжки знакопостоянства функції п.
Побудова графіка функції методом диференціального обчислення
Репетитор з математики Сайт репетитора з математики Фельдман Інни Смелаовни. Професійні послуги репетитора з математики в Москві. Підготовка до ДПА та ЗНО, допомога відстаючим. Дослідження функції та побудова графіка. Прикладом парної функції є функція Для нас важливо, що графік парної функції симетричний щодо осі OY. Прикладом непарної функції є функція Графік непарної функції симетричний відносно початку координат. Для цього ми слідуємо звичного алгоритму.
Знайдемо коріння чисельника і знаменника, нанесемо їх на числову вісь і розставимо знаки: Спробуємо знайти похилу асимптоту. Коефіцієнти і обчислюються наступним чином: Нанесемо асимптоти на координатну площину: У коренях парної кратності похідна знак не змінює.
Отже, ми знайшли проміжки зростання та спадання. Знайдемо значення функції в точках екстремуму: Зауважимо, що, оскільки функція непарна, і ми знайшли, що. ми могли б відразу написати, що Отже, відзначимо в нашій координатної площині точки мінімуму і максимуму функції і точку перетину графіка функції з осями координат.
Дослідження функції та побудова її графіка