Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку
Крім поширених однорідних і неоднорідних рівнянь другого порядку і вищих порядків з постійними коефіцієнтами, рядовому студенту часто доводиться стикатися з іншим досить великим класом діффуров: диференціальнимирівняннями, допускають зниження порядку.
Розрізняють три основних типи таких рівнянь, які ми послідовно розглянемо на даному уроці. За яким принципом вирішуються дані рівняння? Старо, як другий том Матана - рівняння, що допускають зниження порядку, в кінцевому підсумку зводяться до диференціальних рівнянь першого порядку та інтегруються за допомогою методів, які ви вже повинні знати з моїх статей.
Люди зібралися досвідчені, великі, тому не будемо проводити розминку з перекиданням гумового м'ячика з рук в руки, а відразу перейдемо до справи. Але і чайники теж можуть приєднатися, я не виганяю за двері, а ставлю посилання на теми, за якими у вас є прогалини.
Метод повторного інтегрування правій частині
Розглянемо диференціальне рівняння виду, де - похідна «енної» порядку, а права частина залежить тільки від «ікс». У найпростішому випадку може бути константою.
Дане диференціальне рівняння вирішується послідовним інтегруванням правій частині. Причому інтегрувати доведеться рівно раз.
На практиці найбільш популярною різновид є рівняння другого порядку:. Двічі інтегруємо праву частину і отримуємо загальне рішення. Рівняння третього порядку необхідно проінтегрувати тричі, і т.д. Але діффуров четвертого і більш високих порядків в практичних завданнях щось навіть і не пригадаю.
Знайти спільне рішення диференціального рівняння
Рішення: Дане диференціальне рівняння має вигляд.
Знижуємо ступінь рівняння до першого порядку:
Або коротше:, де - константа
Тепер інтегруємо праву частину ще раз, отримуючи загальне рішення:
Перевірити спільне рішення такого рівняння зазвичай дуже легко. В даному випадку необхідно лише знайти другу похідну:
Отримано вихідне диференціальне рівняння, значить, загальне рішення знайдено правильно.
Вирішити диференціальне рівняння
Це приклад для самостійного рішення. Як я вже десь згадував, іноді діффур може бути подшіфрован. У запропонованому прикладі спочатку необхідно привести рівняння до стандартного вигляду. Рішення і відповідь в кінці уроку.
Знаходження приватного рішення (завдання Коші) має свої особливості, які ми розглянемо в наступних двох прикладах:
Знайти приватне рішення рівняння, що відповідає заданим початковим умовам
Рішення: Дане рівняння має вигляд. Відповідно до алгоритму, необхідно послідовно три рази проинтегрировать праву частину.
Спочатку знижуємо ступінь рівняння до другого порядку:
Перший інтеграл приніс нам константу. У рівняннях розглянутого типу раціональносразу ж застосовувати відповідні початкові умови.
Отже, у нас знайдено, і, очевидно, до отриманого рівняння підходить початкова умова.
Відповідно до початковою умовою:
На наступному кроці беремо другий інтеграл, знижуючи ступінь рівняння до першого порядку:
Відповідно до початковою умовою:
І, нарешті, третій інтеграл:
Для третьої константи використовуємо останній патрон:
Зайці плачуть, заряди були з сіллю.
Відповідь: приватне рішення:
Виконаємо перевірку, благо, вона ненапряжная:
Перевіряємо початкова умова:
- виконано.
Знаходимо похідну:
Перевіряємо початкова умова:
- виконано.
Знаходимо другу похідну:
Перевіряємо початкова умова:
- виконано.
Знайдемо третю похідну:
Отримано вихідне диференціальне рівняння
Висновок: завдання виконано вірно
Напевно, всі звернули увагу на наступну річ: який порядок рівняння - стільки і констант. Рівняння другого порядку в своєму розпорядженні два константами, в рівнянні третього порядку - рівно три константи, в рівнянні четвертого порядку обов'язково буде рівно чотири константи і т.д. Причому, ця особливість справедлива взагалі для будь-якого діффура вищого порядку.
Знайти приватне рішення рівняння, що відповідає заданим початковим умовам
Це приклад для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.
Час від часу в диференціальних рівняннях розглянутого типу доводиться знаходити більш важкі інтеграли: використовувати метод заміни змінної. інтегрувати частинами. вдаватися до інших хитрощів. Я навмисно підібрав прості приклади без всяких хитромудрих, щоб більше уваги приділити саме алгоритму рішення.
У диференціальному рівнянні в явному вигляді відсутня функція
Найпростіше рівняння даного типу в загальному вигляді виглядає так:
- все є, а «Ігрек» немає. Точніше, його немає в явному вигляді. але він обов'язково спливе в ході рішення.
Крім того, разом з «ігрек» в явному вигляді може бути відсутнім перша похідна:
- це вже рівняння третього порядку.
Може додатково відсутні і друга похідна:
- рівняння четвертого порядку.
І так далі. Думаю, все побачили закономірність, і тепер зможуть без зусиль визначити таке рівняння в практичних прикладах. Крім того, у всіх цих рівняннях обов'язково присутній незалежна змінна «ікс».
Насправді є загальна формула, сувора формулювання, але я намагаюся уникати зайвих параметрів і інших математичних наворотів, оскільки уроки носять не теоретичний, а практичний характер. І навіть загальні формули, які я тільки що привів, є не зовсім повними з теоретичної точки зору.
Як вирішувати такі рівняння? Вони вирішуються за допомогою дуже простої заміни.
Знайти спільне рішення диференціального рівняння
Рішення: В даному рівнянні другого порядку в явному вигляді не бере змінна. Замінимо першу похідну новою функцією, яка залежить від «ікс»:
Мета проведеної заміни очевидна - знизити ступінь рівняння:
Отримано лінійне неоднорідне рівняння першого порядку. з тією лише різницею, що замість звичної функції «ігрек» у нас функція «зет». Грубо кажучи, відмінність тільки в букві.
Вирішимо допоміжне рівняння:
Поділяємо змінні та інтегруємо:
Загальне рішення допоміжного рівняння:
Варіюючи постійну, в неоднорідному рівнянні проведемо заміну:
Пара доданків в лівій частині скорочується, значить, ми на вірному шляху:
Поділяємо змінні та інтегруємо:
Отже, функція знайдена. Тут на радощах можна забути про одну річ і машинально записати відповідь. Ні-ні, ще не все. Згадуємо, що на початку завдання було виконано заміна, отже, потрібно провести зворотний заміну:
Загальне рішення відновлюємо інтеграцією:
На заключному етапі намалювався партизан «ігрек», який, як ми пам'ятаємо, в диференціальне рівняння в явному вигляді не входив.
У більшості випадків перевірити і такі рівняння не складає особливих труднощів. Беремо отриману відповідь, знаходимо першу і другу похідні:
Підставами першу і другу похідну в вихідне рівняння:
Отримано вірне рівність, значить, загальне рішення знайдено правильно.
Вирішити диференціальне рівняння
Це приклад для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.
Тепер згадаємо початок завдань. За допомогою заміни ми знижували ступінь рівняння і отримували лінійне неоднорідне рівняння першого порядку. Чи завжди виходить саме лінійне рівняння в результаті заміни? Так відбувається часто, але не завжди. Після заміни може вийти рівняння із перемінними. однорідне рівняння першого порядку. а також деякі інші цікавинки.
Вирішити диференціальне рівняння
Рішення: В даному рівнянні третього порядку в явному вигляді не беруть участі функція і перша похідна. Заміна буде дуже схожою, за «зет» позначаємо молодшого брата:
Таким чином, рівняння знижений до першого порядку:
Проведемо зворотну заміну:
Дане рівняння має вже знайомий з першого параграфа вид:.
Двічі інтегруємо праву частину:
Знайти спільне рішення диференціального рівняння
Це приклад для самостійного рішення. Після зниження ступеня вийде лінійне неоднорідне рівняння першого порядку. яке в моєму зразку вирішено методом Бернуллі. Як то кажуть, весь арсенал в ходу.
У диференціальному рівнянні
в явному вигляді відсутня незалежна змінна
Третій, трохи складніший тип рівняння, що допускає зниження порядку. Я не буду малювати загальних формул - відмінна риса даного діффура полягає в тому, що в ньому в явному вигляді відсутня незалежна змінна «ікс». Тобто, в вихідному диференціальному рівнянні немає «ікси». Взагалі ні. Жодного. Ніде.
Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам
, ,
Рішення: В даному рівнянні в явному вигляді не бере змінна. Підстановка тут більш хитромудро. Першу похідну замінимо деякої поки ще невідомою функцією, яка залежить від функції «ігрек». . Зверніть увагу, що функція - це складна функція. Зовнішня функція - «зет», внутрішня функція - «ігрек» ( «ігрек» сам по собі є функцією).
З огляду на, що, остаточно отримуємо:
В принципі, можна запам'ятати цю заміну формально і коротко:
Отже, у вихідному рівнянні проведемо нашу заміну:
Мета заміни - знову ж знизити порядок рівняння:
Одне «зет» відразу скорочуємо:
Отримано рівняння із перемінними. Якщо - функція, що залежить від «ігрек». то перша похідна в диференціалах розписується так:
. Чи не допускаємо машинальної помилки - не пишемо «звичне».
Поділяємо змінні та інтегруємо:
Проведемо зворотну заміну:
Як і в першому параграфі, константу доцільно отстрелить негайно, це значно спростить подальше інтегрування.
Використовуємо обидва початкових умови одночасно:,
В отримане рівняння підставимо і:
Другу константу теж відстрілюємо. Використовуючи початкова умова, проводимо підстановку:
Висловимо приватне рішення в явному вигляді:
Відповідь: приватне рішення:
До речі, відповідь легко перевіряється.
Для закріплення матеріалу пара заключних прикладів.
Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам
, ,
Рішення: В даному рівнянні в явному вигляді не бере змінна. Ще тут немає першої похідної, але це не повинно бентежити - важливо, що немає «іксів». а значить, використовується стандартна заміна:
Таким чином, ступінь рівняння знижена до першого порядку:
Поділяємо змінні та інтегруємо, не забуваючи, що:
Переобозначив константу через:
.
Проведемо зворотну заміну:
Використовуємо одночасно обидва початкових умови, і знайдемо значення константи. Для цього в отримане рівняння підставимо і:
Поділяємо змінні та інтегруємо:
Відповідно до початковою умовою:
Відповідь: приватне рішення:
Знайти рішення задачі Коші.
, ,
Це приклад для самостійного рішення.
Зверніть увагу, що всі три приклади останнього параграфа йдуть із завданням Коші. Це не випадково. Специфіка розглянутого типу диференціальних рівнянь така, що якщо запропонувати знайти спільне рішення, то в більшості рівнянь намалюються складні, химерні, а то і взагалі не береться інтеграли. Тому практично завжди вам буде запропоновано знайти приватне рішення.
Існують ще деякі типи діффуров, що допускають зниження порядку, але на практиці вони мені ні разу не зустрічалися, хоча я перерішати дуже багато диференціальних рівнянь. Тому в урок були включені тільки ті приклади, які вам можуть зустрітися реально.
А зараз пора повісити рушницю на цвях і йти пити чай.
Вдалого зниження ступенів диференціальних рівнянь!
Рішення і відповіді:
Приклад 2: Рішення: Перетворимо рівняння:
Дане ДУ має вигляд. Двічі інтегруємо праву частину:
Відповідь: спільне рішення:
Приклад 4: Рішення: Перетворимо рівняння:
Дане рівняння має вигляд. Тричі інтегруємо праву частину:
Відповідно до початковою умовою:
Відповідно до початковою умовою:
Відповідно до початковою умовою:
Відповідь: приватне рішення:
Приклад 6: Рішення: В дане рівняння в явному вигляді не входить функція, проведемо заміну:
Отримано лінійне неоднорідне рівняння першого порядку. Використовуємо метод варіації довільної сталої. Вирішимо допоміжне рівняння:
Поділяємо змінні та інтегруємо:
У неоднорідному рівнянні проведемо заміну:
Таким чином:
Зворотній заміна:
Відповідь: Загальне рішення:
Приклад 8: Рішення: Проведемо заміну:
Отримано лінійне неоднорідне рівняння, заміна:
Складемо і вирішимо систему:
З першого рівняння знайдемо:
- підставимо в друге рівняння:
Таким чином:
Зворотній заміна:
Двічі інтегруємо праву частину:
Тут я трошки схалтурив, інтеграл від логарифма береться по частинах. і, строго кажучи, останній інтеграл потрібно розписати докладніше.
Відповідь: спільне рішення:
Приклад 11: Рішення: В даному рівнянні в явному вигляді не бере змінна, проведемо заміну:
Зворотній заміна:
Відповідно до початковими умовами,:
Відповідно до початковою умовою:
Відповідь: приватне рішення:
(Перехід на головну сторінку)
Якісні роботи без плагіату - Zaochnik.com