Звичайні диференціальні рівняння
Будь-яка система диференціальних рівнянь описує з певним ступенем точності реальний фізичний процес.
Прилади, що фіксують ту чи іншу фізичне явище, не досконалі. Може виявитися, що мала похибка вимірювання початкових даних викликає "відчутні" зміни рішень рівнянь. У цій ситуації не можна гарантувати, що обрана математична модель реально відображає описується нею фізичне явище.
І, навпаки, якщо малі обурення початкових умов мало змінюють рішення на всьому проміжку їх існування, то відповідну математичну модель слід визнати вдалою.
Так виникає важливий для додатків питання: за яких умов, математична модель, що описується системою диференціальних рівнянь, буде стійкою.
Розглянемо систему диференціальних рівнянь
Вважаємо, що виконані умови теореми існування і єдиності рішення задачі Коші.
Нехай деяке фіксоване рішення x = φ (t) цієї системи існує при всіх t ≥ t0.
Рішення x = φ (t) системи називається стійким за Ляпуновим при t ≥ t0. якщо для будь-якого ε> 0 існує число δ> 0 (залежне, взагалі кажучи, від ε) таке, що:
Геометрично це означає, що інтегральні криві x = x (t), близькі в момент t = t0 до інтегральної кривої x = φ (t), залишаються близькими до неї і на всьому проміжку [t0. ∞).
Інтегральні криві і фазові траєкторії. що відповідають стійким рішенням, теж називаються стійкими.
На малюнку чорним зображена стійка фазова траєкторія, якоїсь системи диференціальних рівнянь другого порядку, яка починається в точці (1, 0), і дві, починається поблизу неї траєкторії.
Геометрично це означає, що інтегральні криві x = x (t), близькі в момент t = t0 до інтегральної кривої x = φ (t). "Видаляються" від неї при t → ∞.
Інтегральні криві і фазові траєкторії. відповідають яеустойчівим рішенням, теж називаються нестійкими.
На малюнку чорним зображена нестійка фазова траєкторія, якоїсь системи диференціальних рівнянь другого порядку, яка починається в точці (0.2, 0), і дві, починається поблизу неї траєкторії.