Безперервні дробу, математика, яка мені подобається
Історично безперервні, або ланцюгові дроби з'явилися в зв'язку з необхідності знайти найкраще наближення дійсного числа за допомогою числа раціонального. Так, при конструюванні зубчастих передач для передачі обертання з одного колеса на інше потрібно нарізати на одному з них зубців, а на іншому -, так щоб відношення якнайкраще наближало заздалегідь задане відношення кутових швидкостей. При цьому ясно, що чим менше зубців потрібно буде нарізати, тим це буде вигідніше. Цікаво, що до такої ж задачі зводиться і встановлення довжини року - адже Земля обертається навколо Сонця за доби, а це число ірраціональне. Давайте ж подивимося, що таке ланцюгові дроби і як вони пов'язані з алгоритмом Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел.
Определеніе.Непреривной (або ланцюгової) дробом називається вираз виду
Безперервна дріб може бути як кінцевої, так і нескінченною.
Числа, які беруть участь в розкладанні числа в безперервну дріб, називаються неповними приватними.
Іноді безперервну дріб позначають у такий спосіб (за допомогою неповних приватних):.
Візьмемо довільне дійсне число. Нехай - ціла частина числа (- найбільше ціле число, яке не перевищує). Якщо число не ціле, то отримаємо. Якщо не є цілим числом, то для нього також можна знайти цілу частину і знайти число і т.д .:
звідки і отримуємо розкладання в безперервну дріб:
Ясно, що якщо число ірраціонально, то безперервна дріб буде нескінченною. Дійсно, будь-яка кінцева ланцюгова дріб є раціональним числом.
Приклад 1. Розкладемо в безперервну дріб число.
тобто . Отже, неповні приватні також будуть повторюватися. І розкладання в безперервну дріб має вигляд
Якщо ж число раціонально, то воно представимо кінцевої безперервної дробом. Розкласти в безперервну дріб в цьому випадку можна за допомогою алгоритму Евкліда.
Звідси послідовною заміною кожного дробу
на її відповідний вираз, виходить уявлення
називаються відповідними дробами.
Теорема. Для відповідних дробів при справедливо співвідношення
Іншими словами, чисельники і знаменники відповідних дробів можна послідовно знаходити за формулами
Доведення. Доводити будемо по індукції. Перевіримо базу індукції. Покладемо,. Тоді оскільки виходить з заміною в вираженні для числа на, маємо
Припустимо тепер, що справедливо рівність
Тим самим, для справедливо рівність того ж виду. Теорема доведена.
Обчислення і зручно проводити за допомогою такої таблиці:
Зауваження. Останній стовпець пишемо тільки в тому випадку, коли - нескоротний дріб з позитивним знаменником:.
Приклад 2. Розкладемо в безперервну дріб нескоротний дріб:
Отримуємо безперервну дріб:
Таблиця виглядає наступним чином:
Таким чином, відповідні дроби будуть наступні:
У разі ж, коли чисельник і знаменник дробу не взаємних прості (НОД) в останньому стовпчику таблиці будуть стояти чисельник і знаменник нескоротного дробу, що дорівнює даної дробу.
Приклад 3. Розкладемо в безперервну дріб:
Твердження 1. 1) При маємо
Доведення. Дійсно, при отримуємо
Далі з рівності
звідки відразу ж слід необхідне.
Друга частина твердження отримують у такий спосіб:
домноженіем на НОД, оскільки.
Приклад 4. Наведемо лінійне уявлення найбільшого загального дільника чисел і (див. Приклад 3):
Твердження 2. Нехай, а якщо - раціональна нескоротний дріб з позитивним знаменником, то нехай також. Тоді лежить між і, причому ближче до, ніж до.
Доведення. Замінимо в рівність
звідки ясно, що перша з різниць, що стоять в дужках, по знаку протилежна другий і чисельно менше (так як), що і доводить наше твердження.
1. Баврін І.І. Фрибус Е.А. Цікаві завдання з математики.
2. Виноградов І.М. Основи теорії чисел
3. Нестеренко Ю.В. Нікішин Е.М. Нарис про ланцюгових дробах, Квант, 1983. - N5. - C- 16-20; N6. - С. 26-30
Одна третя більше ніж одна друга. Порівняння йде в десятковому обчисленні значить десять розділити на одну третину і десять розділити на одну другу значить 30 більше ніж 20. Множимо десяткове 10 на перевернуту дріб. Скільки разів одна третійзустрічається в десятці десяткового числення. А скільки разів зустрічається 3 в одиниці? Жодного разу. А є шістнадцятковій системі числення 0123456789ABCDEF. Букви це якісь передумови до образованіяю комп'ютерної програми яка найшвидше виробляє обчислення при меншому обсязі пам'яті. Все втрачено. Промах!
Пили лінійку. Люди кажуть пили лінійку. Адже порівняння ведеться в статистичному десятці в загальному полі з десятковими числами а не в загальних підставах яке є приватна підставу. Вибірка з десятка. Порівняння це статистика а статистика вимагає врахувати вибірку з найбільшої кількості досліджуваного числового масиву.
Пили ж швидше лінійки.
Семь раз отмер' один раз усунутий. А що якщо порівнювати загальне і часткове частота виникнення приватного загалом?
Одна третя менше однієї другої Або я чогось не розумію?