Знаходження невідомих коефіцієнтів - студопедія
При розкладанні раціонального дробу на найпростіші потрібно знайти невідомі коефіцієнти. Для цього найпростіші дроби, що стоять в правій частині рівності (1.4.5), (1.4.6), (1.4.7), (1.4.8), призводять до спільного знаменника. Тотожність цих рівностей буде в тому випадку, якщо у них многочлени, які стоять в чисельнику зліва і справа, дорівнюватимуть. Тому у цих многочленів прирівнюють числові коефіцієнти при однакових степенях х. З отриманої системи рівнянь знаходять невідомі коефіцієнти.
Приклад 7. Розкласти на найпростіші дроби:
Знаменник дробу має 4 кореня: х1 = 0, х2,3,4 = 1, отже, цю дріб можна представити як суму 4-х найпростіших дробів:
Наведемо найпростіші дроби в правій частині рівності до спільного знаменника:
Прирівнюємо числові коефіцієнти при однакових степенях х і у многочленів, що стоять в чисельнику зліва і сплаву.
З отриманої системи рівнянь знаходимо невідомі коефіцієнти:
Дріб розкладається на найпростіші:
Приклад 8. Розкласти на найпростіші дроби
Знайдемо коріння многочлена, що стоїть в знаменнику:
Дана дріб дорівнює сумі трьох найпростіших дробів:
Наведемо ці дроби до спільного знаменника
Звільняючись від знаменника, одержимо
В даному випадку все три кореня дійсні і різні. Тому коефіцієнти А, В, С можна знайти іншим способом. Підставами по черзі в останню рівність значення всіх трьох коренів:
Практичне заняття 1.5. Інтегрування найпростіших дробів і раціональних функцій
1.5.1. Інтегрування найпростіших дробів
Як уже зазначалося, раціональна функція - це відношення двох многочленів. Якщо вона є неправильною дробом, то її завжди можна представити у вигляді цілої частини (многочлена) плюс правильна раціональна дріб. У свою чергу правильну раціональну дріб, в залежності від того, які коріння має многочлен знаменника, розкладають на найпростіші дроби 4-х видів:
Інтеграли від найпростіших дробів всіх 4-х видів виражаються через елементарні функції:
Інтеграл виду знаходять шляхом виділення повного квадрата в знаменнику, в результаті він зводиться до табличного.
Приклад 1. Знайти інтеграл.
Рішення. Винесемо в знаменнику 2 за дужку і виділимо повний квадрат:
Приклад 2. Знайти інтеграл
Рішення. Виділяємо в знаменнику повний квадрат:
і вводимо нову змінну t = x + 3.
Метод знаходження інтеграла заснований на прийомах, які ведуть до зниження ступеня квадратного тричлена, що стоїть в знаменнику. У загальному випадку обчислення дуже громіздкі, тому розглянемо конкретний приклад.
Приклад 3. Обчислити інтеграл:
Виділимо в чисельнику похідну від знаменника, тоді інтеграл розіб'ється на два:
Перший - є інтегралом від статечної функції.
Другий обчислимо окремо.
Знизимо ступінь знаменника у 2-го інтеграла наступним чином:
У чисельнику останнього інтеграла додамо і віднімемо t 2:
В результаті інтеграл J2 - знову розбився на два, один з яких є табличним, інший можна взяти по частинах:
Підставами знайдене значення J2 в вихідне вираз, остаточно отримаємо:
1.5.2. Інтегрування раціональних функцій
Щоб знайти інтеграл від раціонального дробу потрібно:
1. виділити цілу частину, якщо раціональна функція є неправильною дробом;
2. у отриманої правильної дробу знайти коріння многочлена, що стоїть в знаменнику і з вигляду знайдених коренів записати правильну дріб у вигляді суми найпростіших дробів з невідомими коефіцієнтами;
3. Визначити невизначені коефіцієнти у найпростіших дробів;
4. проинтегрировать цілу частину і найпростіші дроби.
Приклад 4. Обчислити інтеграл
У раціональної функції, що стоїть під знаком інтеграла, ступінь многочлена чисельника більше ступеня многочлена знаменника.
Дріб неправильна, тому виділимо цілу частину:
Тоді вихідний інтеграл можна записати у вигляді:
Знаменник отриманої правильної дробу, що стоїть під знаком другого інтеграла, має дійсні кратні коріння. Дріб розкладається на найпростіші види:
Щоб знайти коефіцієнти А. В. С наведемо найпростіші дроби до спільного знаменника
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях х у многочленів, що стоять в чисельнику зліва і справа, отримаємо:
проинтегрируем найпростіші дроби.
Підставляючи в вихідний інтеграл, остаточно отримаємо:
Рішення. Дріб правильна, розкладемо знаменник на множники так:
Отримали три множника першого ступеня, відповідні коріння: 0, 2 і -2, кожен корінь кратності 1.
Дріб розкладається на найпростіші:
Помножимо обидві частини розкладання на спільний знаменник x (x - 2) (x + 2).
В результаті отримаємо
Спільний знаменник має три дійсних кореня. Підставляючи кожен з них в ліву і праву частини рівності 1.5.1, знайдемо значення невідомих коефіцієнтів А, В і С.
9 × 0 2 - 2 × 0 - 8 = A (0 - 2) (0 + 2) + B × 0 × (0 + 2) + C × 0 × (0 - 2); -8 = -4A Þ A = 2
9 × 2 2 - 2 × 2 - 8 = A × (2 - 2) × (2 + 2) + B × 2 × (2 + 2) + C × 2 × (2 - 2), 9 × 4 - 4 - 8 = 0 × A + 8 × B + 0 × C; 24 = 8B Þ B = 3
9 × (-2) 2 - 2 × (-2) - 8 = = A × (-2 - 2) × (-2 + 2) + B × (-2) × (-2 + 2) + C × (-2) × (-2 - 2); 9 × 4 + 4-8 = A × 0 + B × 0 + C × 8; 32 = 8C Þ C = 4
Ці ж коефіцієнти можна було отримати в інший спосіб.
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х зліва і справа, в рівність (1.5.1) отримаємо систему рівнянь:
Вирішуючи цю систему, знаходимо ті ж значення коефіцієнтів
А = 2; В = 3; З = 4.
При вирішенні зазвичай комбінують обидва методи.
Замінюючи під знаком інтеграла дріб її розкладанням на прості дроби і знаходячи інтеграли, послідовно отримуємо
Рішення. Знаменник не має дійсних коренів, тобто розкладений на множники другого ступеня.
Розкладання підінтегральної дробу на найпростіші має вигляд:
Помноживши обидві частини отриманого рівності на спільний знаменник. отримуємо:
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x, матимемо: