Знаходимо найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне!
У статті обговоримо 2 дуже важливих поняття: найменше спільне кратне (НОК) і найбільший спільний дільник (НСД). Поговоримо, навіщо вони потрібні і доступно пояснити, як знаходити найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне на простих і зрозумілих прикладах.
Почнемо з визначень.
Найбільший спільний дільник - це найбільші число, на яке можна поділити вихідні числа без залишку.
Наприклад, візьмемо числа 6 і 18. Вони обидва діляться без залишку на 1, на 2, на 3 і на 6.
Найбільше з перерахованих чисел 6. Це і є найбільший спільний дільник для чисел 6 і 18.
Найменше спільне кратне - це найменше число, яке ділитися на вихідні числа без залишку.
Візьмемо ті ж числа 6 і 18. Саме очевидно число, яке ділитися на обидва числа без залишку це число, що дорівнює їх добутку.
6 * 18 = 108
Однак число 54, теж ділитися на обидва числа без залишку. 54: 18 = 3 і 54: 8 = 7.
Також число 18 ділитися і на 18 і на 6.
Воно і є саме найменше з можливих, оскільки число менше 18 (17, 16 і т.д) на 18 без остачі ми поділити не зможемо, вийти дріб.
Таким чином, для чисел 6 і 18 найменше спільне кратне 18.
Для чого нам потрібно вміти знаходити загальні найбільший дільник і найменше кратне?
Без них ми не зможемо виконувати елементарні операції з дробами.
Наприклад, нам потрібно скоротити дріб.
6/18. Для того, щоб скоротити цей дріб нам досить для чисельника і знаменника знайти найменший спільний дільник і поділити і чисельник, і знаменник на нього.
Ми знаємо, що для чисел 6 і 18, НСД = 6.
Таким чином,
6/18 = (6: 6) / (18: 6) = 1/3
Для того, щоб елементарно додавати дроби нам необхідно вміти знаходити найменше спільне кратне.
Спробуємо скласти дробу
1/18 і 1/6, для це знаходимо НОК для знаменників або так званий найменший спільний знаменник.
Для знаменників 18 і 6 ми вже знаємо, що НОК (він же найменший спільний знаменник) дорівнює 18.
Наводимо дроби до спільного знаменника
1/18 + 1/6 = 1/18 + 3/18 = 4/18
Дріб 4/18 можна скоротити. НСД для чисел 4 і 18, дорівнює 2.
Таким чином 4/18 = 2/9
У підсумку отримуємо 1/18 + 1/6 = 2/9
Детально про рішення дробів ми розповідаємо в окремій статті.
Для простих чисел НОД і НОК ми можемо знаходити без праці, якщо розуміємо що це за числа і добре знаємо таблицю множення.
Для великих чисел знаходження найбільшого загальне подільника і найменшого спільного кратного ставати проблематичним, оскільки в розумі такі операції робити складно.
Для знаходження НСД в даному випадку використовується алгоритм Евкліда.
Для цього ми ділимо більше число на менше, обчислюючи залишок. На цей залишок нам потрібно поділити число, на яке ми ділили до цього. І так ми ділимо до моменту поки в залишку не опиниться 0. Останній цілий дільник і є НСД для вихідних чисел.
Зрозуміти на прикладі це набагато простіше, тому приклад.
Наприклад, нам потрібно знайти НСД для чисел 543 і 465
1. Ділимо більше на менше.
543/465 = 1 + залишок 543-465 = 78. Воно не дорівнює нулю, продовжуємо ділити
2. Ділимо останній дільник (465) на залишок.
465/78 = 5 + залишок 465 - 5 * 78 = 465-390 = 75. Воно не дорівнює нулю, продовжуємо ділити
3. Ділимо останній дільник (78) на залишок.
78/75 = 1 + залишок 78 - 75 = 3. Воно не дорівнює нулю, продовжуємо ділити
4. Ділимо останній дільник (75) на залишок.
75/3 = 25 Залишок дорівнює 0.
НОД дорівнює останньому цілому делителю 3.
Щоб знайти найменше спільне кратне для великих чисел досить знайти найбільший спільний дільник. І твір цих чисел просто напросто поділити на знайдений НСД.
Наприклад, для наших чисел 543 і 465. найменше спільне кратне одно
НОК = 543 * 465 / НОД = 543 * 465/3 = 84165
Дуже важливо поставити навик знаходження НСД і НОК для простих чисел і відпрацювати алгоритм Евкліда. Прорешать хоча б по 10 прикладів на кожен випадок.
Перевірити відповідь після рішення ви можете скориставшись онлайн сервісами, яких досить багато в інтернеті.
Якщо матеріал був корисний, отблагоріть наш сайт ви можете, зробивши пожертвування.
Будь-яку суму на розвиток проекту ви можете пожертвувати на даній сторінці.