Загальне визначення міри
Загальне визначення міри.
Для того щоб дати визначення міри множин більш загальної природи, ніж відкриті і замкнуті, нам знадобиться одне допоміжне поняття. Нехай Е - деякий безліч, що лежить на відрізку Розглянемо всілякі покриття безлічі Е, т. Е. Всілякі відкриті множини V (Е), що містять Е. Міра кожного з множин V (Е) вже визначена. Сукупність заходів всіх множин V (Е) є деякий безліч позитивних чисел. Це безліч чисел обмежена знизу (хоча б числом 0) і тому має нижню межу, яку ми позначимо через Число називається зовнішньої мірою безлічі Е.
Нехай зовнішня міра безлічі Е, а - зовнішня міра його доповнення щодо відрізка.
Якщо задовольняється співвідношення
то безліч Е називається вимірним, а число - його заходом: якщо співвідношення (3) не задовольняється, то кажуть, що безліч Е незмірно; неймовірне безліч не має заходи.
Відзначимо, що завжди
Зробимо кілька пояснень. Довжина найпростіших множин (наприклад, інтервалів і відрізків) має низку чудових властивостей. Зазначимо найважливіші з них.
1. Якщо безлічі і Е вимірні і то
т. е. міра частини безлічі Е не перевищує заходи всієї множини Е.
2. Якщо безлічі вимірні, то безліч вимірно і
т. е. міра суми не перевершує суми заходів доданків.
3. Якщо безлічі вимірні і попарно не перетинаються, то їх сума вимірна і
т. е. міра кінцевої або рахункової суми попарно непересічних множин дорівнює сумі заходів доданків.
Це властивість заходи називається її повної аддитивностью.
4. Міра безлічі Е не змінюється, якщо його зрушити як тверде тіло.
Бажано, щоб основні властивості довжини зберігалися і для більш загального поняття заходи множин. Але, як можна абсолютно строго показати, це виявляється неможливим, якщо приписувати міру безпідставного безлічі точок на прямій. Тому-то в даному вище визначенні і з'являються множини, що мають міру або вимірні, і безлічі, що не мають заходи або незмірні. Втім, клас вимірних множин настільки широкий, що ця обставина не вносить будь-яких істотних незручностей. Навіть побудова прикладу невимірного безлічі представляє відомі труднощі.
Наведемо кілька прикладів вимірних множин.
Приклад 1. Міра Канторова досконалого безлічі Р (див. § 4). При побудові безлічі Р з відрізка [0, 1] викидається спершу один суміжний інтервал довжини потім два суміжних інтервалу довжини 1/9, потім чотири суміжних інтервалу довжини Взагалі, на кроці викидається суміжних інтервалів довжини
Таким чином, сума довжин всіх викинутих інтервалів дорівнює
Члени цього ряду представляють собою геометричну прогресію з першим членом і знаменником 2/3. Тому сума ряду дорівнює
Отже, сума довжин всіх суміжних до канторова множина інтервалів дорівнює 1. Інакше кажучи, міра додаткового до Р відкритого безлічі дорівнює 1. Тому саме безліч має міру
Як показує цей приклад, безліч може мати потужність континууму і тим не менш мати міру, рівну кулю.
Приклад 2. Міра безлічі всіх раціональних точок відрізка [0, 1]. Покажемо перш за все, що. У § 2 було встановлено, що безліч лічильно. Розташуємо точки безлічі в послідовність
Далі, задамо і оточимо точку інтервалом довжини
Сума є відкрите безліч, що покриває Інтервали 8, можуть перетинатися, тому
Так як можна вибрати як завгодно малим, то
Далі, згідно з (3)
Так як міститься в відрізку [0, 1], то Отже,
Цей приклад показує, що безліч може бути всюди щільним на деякому відрізку і тим не менш мати міру, рівну нулю.
Безлічі міри нуль в багатьох питаннях теорії функцій не грають ніякої ролі, і ними слід нехтувати. Наприклад, функція інтегровна за Ріманом в тому і тільки в тому випадку, якщо вона обмежена і мпожество її точок розриву має міру нуль. Можна було б привести значне число таких прикладів.