Визначники матриць порядку 2 і 3
Для квадратної матриці вводиться нове поняття - визначник матриці. Визначник квадратної матриці будемо позначати символом det A, і визначимо його індуктивним шляхом.
Визначником матриці 2-го порядку
називається число, обчислене за таким правилом: det A = a11a22-a12a21
Діагональ квадратної матриці, яка йде від лівого верхнього елемента таблиці до правого нижнього, називається головною діагоналлю матриці. Діагональ, яка йде від правого верхнього елемента до лівого нижнього, називається побічної діагоналлю матриці.
Таким чином, для обчислення визначника матриці 2-го порядку потрібно з твору елементів, які знаходяться на головній діагоналі матриці, відняти твір елементів, які знаходяться на побічної діагоналі.
Для визначника матриці вводиться символ
Як видно з (1), визначник матриці 2-го порядку представляє собою алгебраїчну суму двох доданків. Кожен з доданків є досягненням двох елементів, при чому в нього входить один елемент першого рядка і один елемент 2-го рядка, один елемент 1-го стовпця і один елемент 2-го стовпця заданої матриці. Зі знаком "+" береться твір елементів головної діагоналі і зі знаком "-" - твір елементів побічної діагоналі.
Визначником матриці третього порядку, або визначником третього порядку, називається число, яке обчислюється за формулою:
Це число являє алгебраїчну суму, що складається з шести доданків. У кожний доданок входить рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця матриці. Кожне складова складається з добутку трьох співмножників.
Знаки, з якими члени визначника входять в формулу знаходження визначника третього порядку можна визначити, користуючись наведеною схемою, яка називається правилом трикутників або правилом Сарруса. Перші три складові беруться зі знаком плюс і визначаються з лівого малюнка, а наступні три складові беруться зі знаком мінус і визначаються з правого малюнка.
64. * Мінори і алгебраїчні доповнення. Теорема про розкладання визначника по рядку або стовпцю. Визначник твори.
Міноромелемента матриці n-го порядку називається визначник матриці (n-1) -го порядку, отриманий з матриці А викреслюванням i -го рядка і j-го стовпця.
При виписуванні визначника (n-1) -го порядку, в вихідному визначнику елементи знаходяться під лініями в розрахунок не приймаються.
Алгебраїчним доповненням Аij елемента аij матриці n-го порядку називається його мінор, взятий зі знаком, що залежить від номера рядка і номера стовпця:
тобто алгебраїчне доповнення збігається з мінор, коли сума номерів рядка і стовпця - парне число, і відрізняється від мінору знаком, коли сума номерів рядка і стовпчика - непарне число.
Теорема про розкладання визначника за елементами рядка. Визначник матриці A дорівнює сумі добутків елементів рядка на їх алгебраїчні доповнення:
.
Теорема про розкладання визначника за елементами стовпчика. Визначник матриці A дорівнює сумі добутків елементів стовпця на їх алгебраїчні доповнення:
.
Теореми про розкладання визначника мають важливе значення в теоретичних дослідженнях. Вони встановлюють, що проблема обчислення визначника n-го порядку зводиться до проблеми обчислення n визначників (n -1) -го порядку.
Визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначників співмножників, тобто.
Якщо дорівнюють нулю всі елементи якого-небудь рядка (стовпчика) матриці за винятком можливо одного елемента, то визначник матриці дорівнює добутку цього елемента на його алгебраїчне доповнення
65. * Мінори і алгебраїчні доповнення. Формула оберненої матриці. Правило Крамера рішення систем лінійних рівнянь.
Мінори та алгебраїчні доповнення. Нехай F - поле скалярів і A = || # 945; ik || ∈F mxn;
Визначення. Визначник подматріци k-го порядку матриці A називається мінор k-го порядку матриці A. мінор першого порядку матриці A є її елементи.
Визначення. Визначник матриці, отриманої з квадратної матриці A викреслюванням i-го рядка і k-го стовпця, називається мінор елемента # 945; ik і позначається через Mik. Твір (-1) i + k Mik називається алгебраїчним доповненням елемента # 945; ik і позначається через Aik.
Зворотній матриця - така матриця A -1. при множенні на яку вихідна матриця A дає в результаті одиничну матрицю E.
Правило Крамера рішення систем лінійних рівнянь. Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n змінними:
над полем F. Позначимо через A основну матрицю цієї системи: A = || # 945; ik ||.
Якщо | A | 0, то система лінійних рівнянь (1) має єдине рішення, яке виражається формулами:
66. * Властивості визначників.
Основні властивості визначників:
Властивість 1. Визначники квадратної матриці A і транспонованою матриці t A рівні.
Властивість 2. При перестановці двох стовпців (рядків) матриці її визначник змінює знак.
Властивість 3. Визначник матриці, що має два однакових шпальти (рядки), дорівнює нулю.
Властивість 4. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпчика) матриці А помножити на скаляр # 955 ;. то на скаляр # 955; примножиться визначник матриці A.
Властивість 5. Якщо кожен елемент i-го рядка (стовпчика) квадратної матриці A є сума m доданків, то визначник матриці A дорівнює сумі m визначників, причому в матриці першого визначника в i-му рядку (i-м стовпці) стоять перші доданки, в матриці другого - другі і т.д. а інші рядки ті ж, що і в матриці A.
Властивість 6. Якщо до якогось колонки (рядку) матриці визначника додати інший стовпець (рядок) матриці, помножений на довільний скаляр, то визначник матриці не зміниться.
Властивість 7. Якщо який-небудь стовпець (рядок) квадратної матриці є лінійна комбінація інших стовпців (рядків) матриці, то визначник матриці дорівнює нулю.