Висновок рівняння коливання струни
Розглянемо струну довжини l
Струною будемо називати тонку туго натягнуту пружну нитку.
При побудові математичної моделі коливань струни будемо розглядати малі коливання, що відбуваються в одній і тій же площині. Нехай в состояниии спокою струна розташована уздовж осі Ox на відрізку [0, l] і при коливанні кожна точка переміщається перпендикулярно осі (поперечні коливання). Тоді відхилення будь-якої точки струни в довільний момент часу U є функція U (x, t) (див. Рис.2).
Припустимо, що натяг настільки велике, що силою тяжіння і опором при вигині можна знехтувати. Крім того, в силу малості коливань, будемо нехтувати також величинами вищого порядку малості в порівнянні з похідною Ux.
Виділимо мала ділянка струни (див. Рис.3) і розглянемо сили, що діють на нього. Так як струна не чинить опір вигину, то її натяг направлено по дотичній до струни в точці x. Більш того, в рамках наших припущень можна вважати величину сили натягу постійною. Справді, довжина будь-якої ділянки струни
нехай # 961; (X) - лінійна щільність в точці x. а # 947; (X. T) - щільність зовнішніх сил, що діють на струну в момент часу t, і спрямованих перпендикулярно Ox.
Результуюча сила, що діє на ділянку струни [x. x + # 8710; x] в напрямку перпендикулярному осі OX. дорівнює (див. рис. 3)
.
При виведенні цієї формули враховуємо, що при малих коливаннях
За другим законом Ньютона добуток маси на прискорення дорівнює діючій силі mw = F. де w = Utt. тому
Розділимо обидві частини рівності на δx і спрямуємо δx до нуля:
Це рівняння називається рівнянням вимушених коливань струни. Якщо струна однорідна, тобто # 961; (X) = const. то рівняння (3) зазвичай записують у вигляді
Utt = a 2 Uxx + f (x. T), де a 2 = T 0 / # 961; ; f (x. t) = # 947; (X. T) / # 961; .
У тому випадку, коли на струну не діють зовнішні сили, виходить рівняння вільних коливань струни
Рівняння (3) і (4) є одновимірними хвильовими рівняннями (відповідно, неоднорідним і однорідним).
Хвильовими ці рівняння називаються тому, що вони описують поширення слабких збурень в пружною середовищі (тобто механічні коливання з малими амплітудами), які у фізиці називають хвилями. Хвильові рівняння виникають також в задачах про електричні коливання, в гідродинаміки і акустики, в теорії пружності, при вивченні електромагнітних полів.
Початкові умови і граничні умови.
Диференціальні рівняння з приватними похідними, взагалі кажучи, мають безліч рішень. Щоб з цієї множини вибрати те єдине рішення, яке відповідає реальному фізичному процесу (наприклад, коливання даної струни), треба задати деякі додаткові умови. В теорії рівнянь з приватними похідними, як і в звичайних диференціальних рівняннях, задаються умови, звані початковими і крайовими (граничними) умовами. Початкові умови в математичній фізиці відповідають стану фізичного процесу в початковий момент часу, який зазвичай приймають за t = 0. В результаті виникає завдання Коші. Однак тут є деякі відмінності. По-перше, початкові умови задаються для нестаціонарних рівнянь, тобто таких рівнянь, які описують нестаціонарні (залежні від часу) процеси. Такими рівняннями є, наприклад, хвильові рівняння і рівняння теплопровідності. По-друге, завдання Коші для рівнянь з приватними похідними має єдине рішення тільки в тому випадку, коли відповідне рівняння розглядається або на всій прямій, або на всій площині, або у всьому просторі. Наприклад, це може бути задача про коливання нескінченної струни або про поширення тепла в нескінченному стрижні. На практиці до таких завдань приходять в тому випадку, коли є дуже довга струна або дуже довгий стрижень і цікавляться процесами, що відбуваються далеко від кінців, а впливом решт нехтують. Якщо взяти, скажімо, довгий провід і злегка качнути його в середині, то по ньому вліво і вправо побіжать хвилі. Картина почне спотворюватися тільки тоді, коли хвилі дійдуть до кінців дроту і, відбившись, підуть назад. Отже, не враховуючи впливу решт, ми тим самим не будемо враховувати впливу відбитих хвиль.
Для хвильового рівняння Utt = a 2 Uxx задаються два початкових умови U | t = 0 = # 966; (X), Ut | t = 0 = # 968; (X). Іноді їх записують інакше: U (x. 0) = # 966; (Х), Ut (x. 0) = # 968; (Х). Перша умова фізично задає початкову форму струни (початкові відхилення точок струни), а друга умова - початкові швидкості точок струни. У разі хвильового рівняння Utt = a 2 # 916; U на площині або в просторі задаються ті ж два початкових умови, тільки функції # 966; і # 968; . відповідно, будуть залежати від двох або трьох змінних.
Якщо розміри струни або стрижня не дуже великі і впливом решт не можна знехтувати, то в цих випадках одні початкові умови вже не забезпечують єдність розв'язку задачі. Тоді необхідно ставити умови на кінцях. Вони називаються граничними умовами або крайовими умовами. Для рівняння коливань струни часто задаються умови U | x = 0 = 0, U | x = l = 0. Інакше їх записують ще й гак: U (0, t) = 0, U (l. t) = 0. Ці умови фізично означають, що кінці струни закріплені (тобто відхилення при х = 0 і при х = l в будь-який момент часу дорівнюють нулю). Можна ставити й інші умови на кінцях струни, наприклад, Ux | х = 0 = 0. Ux | х = l = 0. Такі умови виникають в наступної задачі.
Нехай кінці сруни переміщаються уздовж вертикальних напрямних без тертя (див. Рис.4).
Так як вертикальні сили, що діють на лівий і правий кінці струни, определяютя виразами T 0 Ux (O. t) і T 0 Ux (l, t) (див рис. 2), то записані вище умови означають, що на кінці струни НЕ діють ніякі сили (тому такі умови називають ще умовами вільних кінців).
Як було вже сказано, хвильове рівняння Utt = a 2 Uxx описує не тільки коливання струни, а й інші хвильові процеси, наприклад, поздовжні коливання пружини, поздовжні коливання стержня, крутильні коливання валу. У цих завданнях виникають граничні умови і інших видів. Детально такі завдання ми вивчати не будемо. Однак наведемо основні типи граничних умов. Зазвичай розглядають три типи:
Ці умови фізично означають, що на кінцях задані режими коливань.
Такі умови відповідають тому, що на кінцях задані сили.
Ці умови відповідають пружного закріплення кінців.
Граничні умови (5), (6) і (7) називаються однорідними, якщо праві частини g1 (t) і g2 (t) тотожно рівні нулю при всіх значеннях t. Якщо хоча б одна з функцій в правих частинах не дорівнює нулю, то граничні умови називаються неоднорідними.
Аналогічно формулюються граничні умови і в разі трьох або чотирьох змінних за умови, що одна з цих змінних - час. Г раніцах в цих випадках буде або замкнута крива Г, що обмежує деяку плоску область, або замкнута поверхня # 937 ;, що обмежує область в просторі. Відповідно зміниться і похідна від функції, що фігурує в граничних умовах другого і третього роду. Це буде похідна по нормалі n до кривої Г на площині або до поверхні # 937; в просторі, причому, як правило, розглядають нормаль, зовнішню по відношенню до області (див.рис. 5).
Наприклад, гранична умова (однорідне) першого роду на площині записується у вигляді U | # 915; = О, в просторі U | # 937; = 0. Гранична умова другого роду на площині має вигляд, а "/>. Звичайно, фізичний зміст цих умов різний для різних завдань.
При постановці початкових і граничних умов виникає задача про відшукання рішення диференціального рівняння, удолетворять заданим початковим і граничним (крайовим) умовам. Для хвильового рівняння (3) або (4), початкових умов U (x, 0) = # 966; (x), Ut (x, 0) = # 968; (x) і в разі граничних умов першого роду (5), завдання називається першої начально-крайової завданням для хвильового рівняння. Якщо замість граничних умов першого роду задавати умови другого роду (6) або третього роду (7), то завдання буде називатися, відповідно, другий і третій початково-крайової завданням. Якщо граничні умови на різних ділянках кордону мають різні типи, то такі початково-крайові задачі називають змішаними.