відносини величин
Ставлення однойменних величин
Ставлення величин одного найменування (швидкостей, довжин, вартостей, мас і т.д. виражених однаковими одиницями вимірювання) є числом. Для того, щоб знайти відношення двох однойменних величин (довжин, мас, швидкостей, площ і т.д.), потрібно висловити їх в одних одиницях виміру.
Величини, виражені в одних одиницях виміру називаються однорідними.
Наприклад, одиницями вимірювання довжини можуть бути: міліметри, сантиметри, метри, кілометри і інші. Тому, щоб визначити ставлення $$ 12 $$ м до $$ 3 $$ км, треба обидві ці величини виразити в одних одиницях виміру довжини. Для зручності, висловимо обидві величини в метрах, щоб мати справу з натуральними числами.
$$ 1 $$ км = $$ 1000 $$ м, значить $$ 3 $$ км = $$ 3000 $$ м. Отримаємо відношення: $$$ 12м: 3000м = \ dfrac = \ dfrac1 $$$
Завдання 1. Довжина туристичного маршруту $$ 36 $$ км. Турист пройшов $$ 24 $$ км. Кукую частина маршруту він пройшов? У скільки разів весь маршрут довший пройденої частини?
Рішення: Щоб дізнатися кукую частина маршруту турист пройшов, треба взяти відношення $$ 24 $$ до $$ 36 $$. Запишемо це відношення і скоротимо: $$$ 24км: 36км = \ dfrac = \ dfrac23 $$$ Значить, турист пройшов $$ \ dfrac23 $$ всього маршруту.
Щоб дізнатися, у скільки разів весь маршрут довший пройденої частини, треба знайти відношення довжин всього маршруту і пройденої частини, тобто $$ 36км $$ і $$ 24км $$: $$$ 36км: 24км = \ dfrac = \ dfrac32 = 15 $$$ Як ми бачимо, відношення довжини пройденої частини до всього маршруту і відношення довжини всього маршруту до пройденої частини - взаємно зворотні відносини.
Відповідь: $$ \ dfrac23 $$ всього маршруту пройдено; в $$ 15 $$ раз весь маршрут довший пройденої частини.
Завдання 2: Площа поля дорівнює $$ 200 $$ гектарів. Скопали $$ 240 $$ соток цього поля. Яка частина поля зорана?
Ставлення різнойменних величин
Ставлення величин різних найменувань (шляху і часу, маси тіла і його обсягу, вартості та кількості товару і т.д.) є новою величиною. приклади:
1) Ставлення шляху до часу - це нова величина швидкість.
Якщо подорожній пройшов $$ 10 $$ км (шлях) за $$ 3 $$ години (час), то його швидкість дорівнювала $$$ \ dfrac = \ dfrac \, км / год $$$ Нова величина швидкість виражена вже в одиницях виміру швидкості - кілометри на годину
2) Відношення маси тіла до його об'єму - це нова величина щільність тіла.
Маса $$ 2 \, м ^ 3 $$ стали має масу $$ 15600 $$ кг. Значить, щільність стали дорівнює $$$ \ dfrac = 7800 \, кг / м ^ 3 $$$
3) Відношення вартості покупки до кількості купленого товару - це нова величина ціна товару.
Якщо за $$ 5 $$ кг яблук заплатили $$ 300 $$ рублів, то ціна цих яблук дорівнює $$$ \ dfrac = 60 \, р / кг $$$ Нова величина ціна виражена в одиницях виміру рублі за кілограм.
4) Відношення обсягу виконаної роботи до часу її виконання - це продуктивність.
Якщо робочий зробив $$ 6 $$ деталей на $$ 3 $$ години, то його продуктивність дорівнює $$$ \ dfrac = 2 \, деталі / ч $$$ Одиниці виміру продуктивності дорівнюють відношенню одиниць виміру виконаної роботи до одиниць виміру витраченого часу. В даному прикладі - деталі на годину.
Швидкість може бути виражена в різних одиницях виміру: км / год, м / с, км / хв, см / с і т.д. Головне, що це завжди відношення одиниць вимірювання відстані (кілометрів, метрів, сантиметрів, міліметрів, миль і ін.) До одиниць виміру часу (година, хвилина, секунда і ін.).
Щільність може бути також виражена в різних одиницях виміру, але завжди це ставлення одиниць вимірювання маси (кілограм, грам, тонн, центнерів і ін.) До одиниць виміру обсягу (метри в кубі - $$ м ^ 3 $$, сантиметри в кубі - $$ см ^ 3 $$ і ін.): $$ кг / м ^ 3 $$, $$ г / см ^ 3 $$ і т.д.