Варіант 1
Завдання 19. Зростаюча кінцева арифметична прогресія складається з різних цілих невід'ємних чисел. Математик вирахував різниця між квадратом суми всіх членів прогресії і сумою їх квадратів. Потім математик додав до цієї прогресії наступний її член і знову обчислив таку ж різниця.
а) Наведіть приклад такої прогресії, якщо вдруге різниця виявилася на 48 більше, ніж у перший раз.
б) Вдруге різниця виявилася на 1440 більше, ніж у перший раз. Чи могла прогресія спочатку складатиметься з 12 членів?
в) Вдруге різниця виявилася на 1440 більше, ніж у перший раз. Яку найбільшу кількість членів могло бути в прогресії спочатку?
а) Нехай дана арифметична прогресія, що складається з трьох чисел. Тоді перше значення, яке обчислив математик, дорівнює величині
Потім, був доданий наступний член арифметичної прогресії, і було отримано значення
Необхідно, щоб різниця, розкриваючи квадрати і скорочуючи подібні члени, отримуємо:
З формул арифметичної прогресії відомо, що і, де - різниця арифметичної прогресії (). Таким чином, останній вираз можна переписати у вигляді
З останнього виразу видно, що якщо взяти і, то отримаємо дотримання рівності
тобто можна взяти арифметичну послідовність виду
яка дасть різницю
б) Знайдемо послідовності з 12-ма членами і 13-ма членами відповідно, у яких різниця. У пункті а) була розписана різниця для 4-х і 3-х членів послідовності. Узагальнюючи цей вираз на n + 1 і n членів послідовності, отримаємо:
Також, з огляду на, що і, маємо:
Так як за умовою завдання, то мінімальне значення різниці може бути отримано при і, отримаємо:
тобто підібрати потрібні арифметичні послідовності з 12-ю і 13-ю членами неможливо.
в) З попереднього пункту ясно, що. Наступні значення потрібно підбирати:
число 720 не ділиться без остачі на 11, отже, не можна підібрати цілі і;
неможливо підібрати цілі і, щоб виходило 144;
щоб отримати цілі рішення, один з множників в лівій частині повинен бути кратний 5 або 10, але при таких значеннях цілих рішень знайти не вдається;
є цілий розв'язок при і.
Таким чином, отримуємо наступну прогресію з 8-ми членів:
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
яка задовольняє умові завдання.