Точні квадрати і куби, математика, рішення онлайн!
З основної теореми арифметики випливає, що точний квадрат завжди має непарне число дільників. якщо число є точний квадрат, то показники ступенів. парних, а число дільників числа a, рівне непарній.
Точно так же у точного куба число дільників має вигляд 3n + 1, у четвертого ступеня - число виду 4n + 11 і т.д.
При роботі зі ступенями цілих і натуральних чисел завжди слід мати на увазі, що ступінь з великим показником також є і ступенем з маленьким показником: наприклад, а 100 - це одночасно і квадрат п'ятдесятої ступеня, і четверта ступінь двадцять п'ятому ступені, і п'ятий ступінь двадцятої ступеня, і т.п. Ясно, що показник ступеня таким чином можна зменшити для будь-якого складеного числа n, а для простого n це нічого не дасть.
При вирішенні завдань корисним може виявитися таке властивість точних квадратів:
Квадрат числа при діленні на будь-яке число дає той же залишок, що і квадрат його залишку.
Дійсно, якщо r - залишок від ділення k на b, то k 2 і r 2 дають при діленні на b один і той же залишок:. а k-r ділиться на b.
Наприклад, число k при діленні на 6 може давати залишки 0, 1, 2, 3, 4, 5, їх квадрати - 0, 1, 4, 9, 16, 25, а залишки від ділення квадратів на 6 - це 0, 1 , 4, 3, 4, 1. Таким чином, квадрат числа при діленні на 6 не може давати залишків 2 і 5.
Тими ж міркуваннями легко отримати, що будь-які залишки при діленні точного квадрата на 3 та на 4 - це 0 або 1.
Приклад 1: Чи є число точним квадратом?
Відповідь: Все три числа в заданій сумі непарні, отже, їх квадрати мають вигляд 4п +1, так що їх сума має вигляд 4т + 3 і тому не є точним квадратом.
Приклад 2: Чи є число точним квадратом?
Відповідь: Оскільки числа. - це насправді 157 і 314, то обидва вони не діляться на 3, і тому їх квадрати мають вигляд Зn + 1, а сама задана сума має вигляд 3m + 2 і, отже, не є точним квадратом
Приклад 3: Довести, що якщо два числа обидва не діляться на 3, то їх сума не є точним квадратом.
Відповідь: Так як квадрат будь-якого натурального числа, що не ділиться на 3, при діленні на 3 дає залишок 1, то сума будь-яких двох таких чисел при діленні на 3 дає залишок 2, а таке число не може бути точним квадратом.
Поділитися з друзями: