теорія біфуркацій
Огляд [ред]
Біфуркація - це придбання нової якості в рухах динамічної системи при малій зміні її параметрів.
Центральним поняттям теорії біфуркації є поняття (не) грубої системи (див. Нижче). Береться будь-яка динамічна система і розглядається таке (багато) параметричне сімейство динамічних систем, що вихідна система виходить як окремий випадок - при будь-якому одному значенні параметра (параметрів). Якщо при значенні параметрів, досить близьких до даного, зберігається якісна картина розбиття фазового простору на траєкторії, то така система називається грубої. В іншому випадку, якщо такий околиці не існує, то система називається негрубой.
Тут мається на увазі перш за все плідна фізична і математична ідея А.А. Андронова про грубі системах, розроблена ним за участю Л.С.Понтрягина. Груба система - це така, якісний характер рухів якої не змінюється при досить малій зміні параметрів. Консервативні системи не є грубими: коливання ідеального маятника без тертя є періодичними (загасають); але періодичності немає при наявності вже як завгодно малого тертя. Всякий генератор незатухаючих коливань режимам притаманні такі властивості, які не зберігаються при консервативної ідеалізації, але правильно відображаються поняттям "груба система".
Таким чином в просторі параметрів виникають області грубих систем, які поділяються поверхнями, що складаються з грубих систем. Теорія біфуркацій вивчає залежність якісної картини при безперервному зміні параметра вздовж деякої кривої. Схема, за якою відбувається зміна якісної картини називається бифуркационной діаграмою.
Основні методи теорії біфуркацій - це методи теорії збурень. Зокрема, застосовується метод малого параметра (Понтрягіна).
Біфуркація рівноваг [ред]
У механічних системах, як правило, що встановилися руху (положення рівноваги або відносної рівноваги) залежать від параметрів. Значення параметрів, при яких спостерігається зміна кількості рівноваг, називаються їх біфуркаційних значеннями. Криві або поверхні, що зображують безлічі рівноваг в просторі станів і параметрів, називаються біфуркаційних кривими або біфуркаційних поверхнями. Проходження параметра через біфуркаційних значення, як правило, супроводжується зміною властивостей стійкості рівноваг. Біфуркації рівноваг можуть супроводжуватися народженням періодичних та інших, більш складних рухів.
Основні поняття [ред]
Згідно з задумом одного з учасників Вікіпедії, на цьому місці повинен розташовуватися розділ, присвячений перерахуванню і визначенню основних понять теорії біфуркацій.
Ви можете допомогти проекту, написавши цей розділ.