Теорема (про модуль векторного добутку)
Модуль векторного добутку двох векторовіможет обчислюватися по формулі, де є кут між вектораміі. Якщо вектори, не є колінеарними, то модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторахі.
Доведення. Якщо вектори, є колінеарними, то їх векторний добуток дорівнює нульовому вектору, а модуль нульового вектора дорівнює нулю. Так як кут між колінеарними векторами дорівнює 0 або, то.
Таким чином, яка доводиться формула справедлива для колінеарних векторів.
Нехай вектори і не є колінеарними.
Позначимо напрямні косинуси вектора як Так як, за визначенням, напрямні косинуси є компоненти орта вектора, то для них справедлива формула Компоненти вектора виражаються через модуль вектора і напрямні косинуси за формулами
Аналогічно, позначимо напрямні косинуси вектора як Для них також справедлива формула Крім того, виконуються рівності для компонент вектора у вигляді
Косинус кута між векторами і обчислюється як скалярний твір між їх ортами за формулою
Знайдемо далі квадрат модуля векторного твори:
Звідси випливає, що і завершує доказ першої частини теореми.
Якщо вектори, не є колінеарними, то на них можна побудувати паралелограм. Площа будь-якого паралелограма обчислюється як твір довжини підстави паралелограма на його висоту. У нашому випадку довжина підстави дорівнює, а висота дорівнює. Таким чином, теорема повністю доведена.
Определеніе.Векторно-скалярним або змішаним твором трьох упорядкованих векторів,, в реальному просторі називають число, знайдене за правилом, де для перших двох векторів складається векторний добуток, яке потім скалярно множиться на третій вектор.
З огляду на визначення векторного і скалярного творів, значення змішаного твори обчислюють за формулою
Якщо вектори,, є компланарними, то один з векторів, може бути представлений у вигляді лінійної комбінації двох інших. У цьому випадку одна з рядків визначника змішаного твори буде лінійною комбінацією двох інших рядків. Як відомо, значення такого визначника дорівнює нулю.
Всі теми даного розділу:
ЛІНІЙНЕ ПРОСТІР
Безліч елементів будь-якої природи називається лінійним або векторним простором, а його елементи
Безліч числових функцій.
Розглянемо безліч числових функцій, визначених на деякому проміжку. Будь-яким двом функціям і
Теорема (про існування та єдність різниці елементів).
Для будь-яких двох векторів лінійного простору, існує такий єдиний вектор
Теорема (про умови рівності нулю твори числа на вектор).
Твір числа на вектор одно нульового вектору тоді і тільки тоді, коли число дорівнює нулю або вектор дорівнює нульовому вектору. Доказательство.Пусть число
Визначник матриці ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Визначники вводяться тільки для квадратних матриць як деякий правило, яке формує значення визначника за елементами матриці. Якщо елементи матриці числа, то визначник буде
Теорема (про розкладанні визначника по будь-якому рядку або стовпцю).
Визначник порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якої його рядки або стовпці на відповідні алгебраі
Доведення.
Напишемо формулу розкладання визначника по першому рядку. Вид цієї формули не за
Теорема (про визначнику твори двох матриць).
Визначник добутку двох матриць дорівнює добутку визначників матриць сомножителей. теоре
СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Загальна система з лінійних алгебраїчних рівнянь з
Теорема (про існування та єдність оберненої матриці).
Будь-яка квадратна матриця має єдину зворотну матрицю, яка обчислюється за формулою. тоді і тільки тоді, ко
Доведення.
Доведемо, що умова. є достатньою умовою для існування оберненої матриці. на важливо
Теорема Крамера.
Якщо в квадратній системі рівнянь визначник матриці коефіцієнтів не дорівнює нулю, то система має єдине рішення, яке знаходиться або матричним способомпо формулою
Доведення.
Відповідно до теореми про існування та єдність оберненої матриці, для невироджених матриці коефіцієнтів нашої системи існує єдина обернена матриця
Теорема (про лінійних властивості координат векторів).
При додаванні будь-яких двох векторів їх координати в даному базисі складаються, а при множенні будь-якого вектора на будь-яке число координати множаться на це число. Доведення
Доведення.
За визначенням базису це означає, що будь-який рядок або стовпець матриці можуть бути представлені у вигляді лінійної комбінації базисних рядків або базисних стовпців, причому єдиним чином. все ра
Доведення.
Покажемо достатність умови другого слідства. Якщо рядки матриці лінійно залежні, то за властивістю системи залежних векторів одна з рядків є лінійною комбінацією остальн
Теорема (про приведення до ступінчастою матриці).
Будь-яку матрицю можна привести до ступінчастою матриці, виконавши кінцеве число елементарних перетворень. Теорема доводиться конструктивно шляхом перебору кінцевого числа можливих
Теорема (про ранг ступінчастою матриці).
Ранг ступінчастою матриці дорівнює числу її ненульових рядків. Доказательство.Ненулевие, ступінчасті рядки лінійно незалежні, що можна показати, склавши лінійну комб
Теорема (про рівносильні переходах).
Будь-яке кінцеве число елементарних перетворень системи переводять її в систему, рівносильну вихідної системі. Доказ теореми випливає безпосередньо з оп
Доведення.
Ранг матриці коефіцієнтів системи за визначенням завжди менше або дорівнює кількості рівнянь або числа невідомих вих
Дослідження і рішення однорідних систем рівнянь.
Однорідна система завжди сумісна, так як має нульове (тривіальне) рішення
Доведення.
Необходімость.Пусть є конечномерное простір розмірності
Теорема (про вид загального рішення неоднорідної системи рівнянь).
Рішення неоднорідної системи рівнянь завжди може бути представлено як сума загального рішення відповідної
ВЕКТОРНА АЛГЕБРА
Під векторної алгеброю зазвичай розуміють розділ лінійної алгебри, що вивчає геометричні вектори на площині і реальному просторі. В математиці і її додатках зустрічаються разл
Евклідові простору.
Определеніе.Скалярним твором двох будь-яких векторів лінійного простору називається правило, за яким кожної впорядкованої парі векторів
Доведення.
Нехай є ортогональна система ненульових векторів евклідового простору. Припустимо, що виконується ра
Теорема (основні властивості ортонормированного базису).
1. Координати довільного вектора в ортонормированном базисі рівні скалярним творам цього вектора на відповідні вектори цього базису. 2. Скалярний добуток двох
Визначення.
Канонічним базисом в просторі тривимірних геометричних векторів називають вектори
Лінійні геометричні об'єкти.
Определеніе.Пусть є певний ненульовий вектор, а