Модуль векторне і змішане твір
Три некомпланарних вектора взяті в зазначеному порядку, утворюють праву (ліву) трійку векторів, якщо з кінця вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого вектору видно радилися проти годинникової стрілки (по годинникової стрілки).
Векторним твором неколінеарних векторів і називається вектор, який визначається умовами:
1) вектор перпендикулярний векторах і, т. Е.,;
2) довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і як на сторонах, т. Е.
3) трійка,, - права.
Векторний добуток позначається або. Якщо вектора колінеарні. то по визначенню
Властивості векторного твори:
1) антіперестановочності множників;
2) асоціативний щодо скалярного множника
3) розподільна щодо складання
4) якщо (зокрема)
Якщо вектора і задані своїми координатами,, то векторне твір одно
Для обчислення площі паралелограма, побудованого на векторах і застосовується формула
Дано два вектора, для яких. знайти
1) За формулою знаходь модуль векторного твори:
2) Відповідно до властивостями векторного твори отримуємо:
Дано два вектора .Знайти їх векторний добуток, синус кута між ними і площа паралелограма побудованого на цих векторах.
Векторний добуток обчислювальні за допомогою формули
за формулою знаходимо площа паралелограма:
Синус між даними векторами дорівнює
Обчислити площу трикутника з вершинами.
Знайдемо координати векторів. Так як площа трикутника становить половину площі паралелограма, побудованого на цих векторах, отримуємо
Векторний добуток обчислювальні за допомогою формули
1) Знайти координати вектора, якщо,
3) Дано вектори Знайти:.
4) Знайти площу трикутника з вершинами.
5) Вектори і утворюють кут 450. Знайти площу трикутника, побудованого на векторах і, якщо.
Записати в зошит необхідну інформацію.
Приклади запишіть в зошит.
Вирішити завдання, перевірити відповіді.
Змішане твір векторів
Змішаним твором трьох векторів, називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на вектор. Позначення:.
Геометрично змішане твір інтерпретується як число, що дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах, як на ребрах. Змішане твір векторів позитивно, якщо дані вектора утворюють праву трійку, і негативно - якщо ліву.
Властивості змішаного добутку векторів:
3. = =, де число.
4. якщо компланарність.
Якщо вектора задані своїми координатами,,, то мішаний добуток дорівнює
Перевірити компланарність дані вектора,; в разі їх некомпланарних з'ясувати яку трійку (праву або ліву) вони утворюють, обчислити об'єм побудованого на них паралелепіпеда.
a) Обчислимо мішаний добуток векторів:
Так як змішане твір дорівнює нулю, то вектора компланарність.
b) Обчислимо мішаний добуток векторів:
Так як змішане твір не дорівнює нулю, то вектора НЕ компланарність; , Значить утворюють ліву трійку векторів.
Дано вершини піраміди. Знайти обсяг піраміди і довжину її висоти, опущеної з вершини А.
Знайдемо координати векторів, на яких побудована піраміда. Обчислимо їх змішане твір:
Шукану висоти визначимо з формули,
1) Знайти об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах.
2) Яку трійку векторів утворюють вектора,
3) Дано вершини піраміди. Знайти обсяг піраміди і довжину її висоти, опущеної з вершини А.
4) Обсяг тетраедра дорівнює 5, три його вершини знаходяться в точках. Знайти координати четвертої вершини, якщо відомо, що вона лежить на осі ординат.
5) Вектор перпендикулярний векторах;
Прочитати, коротко записати матеріал ..
Приклад записати в зошит
Виконати завдання, перевірити.