Статистичний вага 1
Поняття «статистичний вагу» (використовується також термін термодинамічна ймовірність) є одним з основних в статистичній фізиці. Щоб сформулювати його визначення необхідно спочатку визначити поняття макросостояніе і Мікростан.
Одне і теж стан макроскопічного тіла можна охарактеризувати по-різному. Якщо стан охарактеризовано завданням макроскопічних параметрів стану (тиск, об'єм, температура, щільність і т.п.) то такий стан будемо називати макросостояніем.
Якщо стан охарактеризовано шляхом завдання координат і швидкостей всіх молекул тіла, то такий стан будемо називати микростанів.
Очевидно, що одне і те ж макросостояніе може бути реалізовано різними способами, тобто різними микростанів. Число різних микростанів, якими може бути реалізовано дане макросостояніе називається статистичною вагою або термодинамічної ймовірністю.
Для пояснення зазначених понять розглянемо модель (!) - посудина, в якому знаходяться N молекул. Припустимо, що посудина розділений на дві однакові частини, і різні макросостоянія відрізняються кількістю молекул в лівій і правій половинах судини. Тому в рамках моделі будемо вважати стан молекули заданим, якщо відомо, в який з половин судини вона знаходиться.
Різні мікростану відрізняються при цьому тим, які саме молекули знаходяться праворуч і ліворуч. 1,2 - 3,4 (як показано на малюнку 9.5) один зі станів. 1,3 - 2,4 - інше Мікростан.
Кожна з молекул може з рівною імовірністю знаходитися і зліва, і справа. Тому ймовірність i-тої молекулі перебувати, наприклад, справа дорівнює ½. Поява в лівій частині судини тієї молекули поряд з тією є статистично незалежним подією. тому ймовірність знаходження зліва двох молекул дорівнює ½ ½ = ¼; трьох молекул - 1/8; чотирьох - 1/16 і т.д. Отже, ймовірність будь-якого розміщення (мікростану) молекул дорівнює.
Твердження про те, що, ймовірно кожного їх микросостояний рівні, називаються ергодічеськой гіпотезою, і воно лежить в основі статистичної фізики.
Розглянемо N = 4. Кожне з розміщень молекул в половинах судини є конкретним микростанів. Тоді макросостояніе з числом молекул зліва відповідає 1 Мікростан. Статистичний вага такого макросостоянія дорівнює 1, а ймовірність його реалізації - 1/16. Для інших макростоляній можна стверджувати наступне:
відповідає 4 мікростану статистичний вага 4, 4/16
відповідає 6 микросостояний статистичний вага 6, 6/16
відповідає 4 мікростану статистичний вага 4, 4/16
відповідає 1 Мікростан статистичний вага 1, 1/16
Тепер можна бачити, що внаслідок прийняття ергодічеськой гіпотези, статистичний вага виявляється пропорційним ймовірності (звичайної!) Реалізації даного макросостоянія.
Якщо в посудині міститься N молекул, то можна довести, що статвес макросостоянія, що полягає в тому, що зліва n молекул, а праворуч (N - n)
Якщо для чотирьох молекул ймовірність зібратися в одній з половин судини становить 1/16, тобто цілком відчутну величину, то вже для N = 24 ця ймовірність становить близько.
При нормальних умовах в 4 см 3 повітря міститься близько 10 20 молекул. Імовірність зібратися їм в одній з частин судини оцінюється величиною.
Таким чином, зі збільшенням кількості молекул в системі ймовірність суттєвих відхилень від приблизного рівності кількостей молекул в частинах посудини дуже швидко убуває. Це відповідає тому, що статвес станів з приблизно рівною кількістю молекул в половинах виявляється дуже великим і швидко зменшується в міру відхилення від рівності молекул в частинах.
Якщо число N не надто велике, то з плином часу спостерігаються - помітні відхилення кількості молекул в одній з половини отN / 2. Випадкові відхилення фізичної велічіниx від її середнього значення називаються флуктуацій:
Середнє арифметичне абсолютної флуктуації дорівнює нулю. Тому в якості характеристики флуктуацій частіше розглядають середню квадратичну флуктуації:
Більш зручною і показовою є відносна флуктуація:
Причому в статистичній фізиці доводиться співвідношення:
тобто величина відносної флуктуації обернено пропорційно кореню з кількості частинок в системі. Це твердження підтверджує наш якісний висновок.
Аналогічно кількості молекул в одній з половин судини флуктуируют поблизу середніх значень і інші макроскопічні характеристики стану - тиск, щільність, і т.п.
Розглянемо природу рівноважних і нерівноважних станів і процесів з точки зору статистичної фізики. Рівноважним. за визначенням, є такий стан, який не має тенденції до зміни з плином часу. Ясно, що таку властивість в найбільшій мірі буде володіти найбільш ймовірне з усіх макросостояніе системи, тобто стан, що реалізовується найбільшою кількістю микросостояний, а значить володіє найбільшим статистичним вагою. Тому рівноважний стан можна визначити як стан, статвес якого максимальний.
Прикладом типового незворотного процесу може служити поширення на весь об'єм посудини молекул газу, спочатку зосереджених в одній з його половин. Цей процес є незворотнім, так як ймовірність того, що в результаті теплового руху все молекули зберуться в одній з половин судини, дуже мала. Відповідно завжди незворотнім є процес. зворотний якому вкрай малоймовірний.
Лекція № 10 СТАТИЧНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА
Як ми встановили, ймовірність стану системи пропорційна її статичному вазі, тому в якості характеристики ймовірності стану можна було б використовувати сам статвес W. Однак W не є адитивною величиною. Тому для характеристики стану системи використовують величину
яку називають ентропією системи. Дійсно, якщо ми розглянемо дві системи по 4 молекули в кожній, то статистичний вага стану, коли в кожній з підсистем знаходиться, наприклад, по одній молекулі зліва буде дорівнює 16, тобто . Це співвідношення справедливо для будь-яких станів. Отже, статвес неаддітівен. У той же час ентропія стану результуючої системи тобто є величиною адитивною.
Оскільки при протіканні необоротних процесів в ізольованій системі вона переходить з менш ймовірних в більш ймовірні стану, можна стверджувати, що ентропія ізольованої системи зростає при протікання у ній необоротних процесів.
Рівноважний стан є найбільш імовірним станом, а значить, ентропія системи перейшла в рівноважний стан максимальна.
Тому можна стверджувати, що ентропія ізольованої системи залишається постійною, якщо вона знаходиться в рівноважному стані, або зростає, якщо в ній протікають незворотні процеси.
Твердження про те, що ентропія ізольованої системи не убуває, називаетсявторим початком термодинаміки або законом зростання ентропії.
Ентропія є. очевидно, функціейсостоянія і повинна визначаться параметрами стану. Найпростішими властивостями володіє одноатомний ідеальний газ - його стану повністю визначається завданням двох параметрів, наприклад, температури і об'єму. Відповідно його ентропію можна визначити як функцію температури та об'єму:. Відповідні обчислення показують, що ентропія благаючи ідеального газу визначається виразом
де - є деяка константа, з точністю до якої визначається ентропія.
Тепер можна з'ясувати питання про те, як змінюється ентропія неізольованою системи, наприклад при повідомленні їй деякої кількості тепла. Візьмемо диференціал (2) і помножимо його на:
Але збільшенню внутрішньої енергії газу. Оскільки рівність .Тоді (3) перетвориться до виду:
Вхідні в (4) є адитивними. і тому (4) справедливо для будь-якої маси газу:
Відповідно до першого початку термодинаміки права частина (5) є. З цього:
Формула (6) виявляється справедливою для будь-яких тіл, необхідно тільки щоб повідомлення кількості тепла було оборотним.
Зупинимося на фізичної сутності ентропії.
Введемо визначення: стан, здійснюване відносно малим числом способів буде називатися впорядкованим або невипадковим. Стан, здійснюване великою кількістю способів - безладним або випадковим.
Тоді можна стверджувати, що ентропія є кількісною мірою ступеня безладу в системі. Повідомлення системі кількості тепла призводить до посилення теплового руху молекул, а значить і до зростання ентропії. При цьому, чим вище температура системи, тим менше частка безладу внесеного повідомленням даного. в чому і полягає фізичний зміст формули (6).
Якщо кількість тепла повідомляється системі в ході незворотного процесу, то її ентропія зростає не тільки за рахунок отримання тепла, а й за рахунок протікання необхідних процесів, оскільки незворотний процес супроводжується зростанням ймовірності стану системи, її статистичного ваги
В цьому випадку під в (7) мається на увазі температура резервуара, з якого система отримує. Об'єднуючи (6) і (7) разом можна записати:
При абсолютному нулі всяка система знаходиться в основному стані. т. е. стані з найменшою енергією. Статична вага цього цілком певного стану дорівнює одиниці. а значить ентропія системи дорівнює нулю. Це відповідає теоремі Нернста. відповідно до якої ентропія всякого тіла прагне до нуля при прагненні до нуля його температури:
Теорему Нернста називають також третім початком термодинаміки.