Спектр нормальних коливань решітки, розподіл коливань по частотах
Як обговорювалося вище, зв'язок між атомами твердого тіла настільки сильна, що вони не можуть коливатися незалежно один від одного; N таких атомів утворюють пов'язану систему, що володіє Зn ступенями свободи. У такій системі виникає в загальному випадку Зn коливань (N коливань для кожного типу поляризації - однієї поздовжньої і двох поперечних мод), що відбуваються з різними частотами. Ці коливання називаються власними коливаннями системи, а частоти, з якими вони здійснюються, власними частотами.
Модель Дебая дає значно краще згоду з досвідом, ніж теорія теплоємності Ейнштейна. У ній, як і в теорії Ейнштейна, передбачається, фонони підкоряються розподілу Планка і їх середня енергія може бути представлена співвідношенням (4.43). Важливі доповнення до теорії Ейнштейна полягають у тому, що Дебай припустив:
· Коливання атомів в твердому тілі не є незалежними. Існують залежності частот власних пружних коливань від хвильового вектора, причому в моделі Дебая зроблено спрощує припущення, згідно з яким враховуються тільки акустичні типи коливань і вибирається найпростіший закон дисперсії (континуальної наближення);
· Частоти коливань решітки обмежуються максимальною частотою ωD (див. (4.37)), так що виконується співвідношення
де 3N - повне число частот коливань.
Розрахунок теплоємності кристалічної решітки в рамках теорії Дебая проводиться з урахуванням отриманої їм функції щільності власних коливань решеткіg (ω) (див. (4.36)).
Енергію для кожного типу поляризації можна представити виразом
Тут ωD - частота на якій обрізається безперервний спектр.
Для простоти ми припускаємо, що швидкості фононів для всіх трьох типів поляризації (однієї поздовжньої і двох поперечних мод) однакові, і тому, щоб отримати повну енергію, просто потроїмо енергію (4.51):
де введені позначення і
Співвідношення (4.52) є визначенням температури Дебаяθ через граничну частоту ωD. введену умовою (4.37). Для θ можна записати вираз
і переписати (4.52) у вигляді
де N - число атомів зразка.
Тепер теплоємність знайти дуже просто: потрібно лише продифференцировать по температурі перше з виразів для Е в (4.52). Тоді отримаємо:
Графік залежності теплоємності від відносини дан па рис. 4.14. Видно, що при високих температурах молярна теплоємність наближається до класичного значенням.
Теплоємність Дебая при високих температурах
При Т >> θ і знаменник в подинтегрального вираженні в формулі (4.55) можна розкласти в ряд по малому параметру:
Підставляючи результат (4.57) в (4.56) і приймаючи, що N = NA. для теплоємності в високотемпературному межі отримаємо:
що, як і в теорії Ейнштейна, відповідає закону Дюлонга і Пті.
Теплоємність Дебая при низьких температурах.
При дуже низьких температурах наближене вираження для енергії можна отримати з (4.55), поклавши верхня межа інтеграла рівним нескінченності. Тоді інтеграл обчислюється, і дорівнює:
Отже, для Е маємо:
Це і є наближений закон T3 Дебая. Він добре виконується при низьких температурах, оскільки саме в цій області порушуються тільки низькоенергетичними (довгохвильові) акустичні фонони.
Формула Дебая виправдовується для більшості твердих тіл.
Слід зазначити, що поняття температури Дебая використовується в багатьох задачах фізики твердого тіла, в тому числі і не пов'язаних з теплоємністю. Вона є характеристичною температурою твердого тіла, що залежить від констант пружності. Фізичний сенс температури Дебая в тому, що величина являє максимальний квант енергії, здатний порушити коливання решітки. При температурі вище температури Дебая все фонони порушено, і у більшій частині фононів довжина хвилі має порядок декількох міжатомних відстаней (короткохвильові фонони). При температурах ж значно нижче дебаєвської збуджуються тільки фонони, хвильові вектори До яких дуже близькі до центру зони Брілюена і лежать досить далеко від її кордонів (довгохвильові фонони).
Температура Дебая θ умовно поділяє «квантово-механічну» і «класичну» області температурної залежності фізичних властивостей твердих тіл. У першій з них (Т <θ ) в результате температурного возбуждения происходит изменение числа фононов, во второй (Т> θ) - все фонони порушено.
Потрібно відзначити, що це уявлення цілком справедливо для кристалів з одним атомом в базисі, де можуть порушуватися лише акустичні фонони. Однак кристали, що містять два і більше атома в базисі, додатково мають оптичними модами. Тому для них при температурах вище θ продовжує відбуватися порушення фононів, тепер уже оптичного типу.
Як зазначалося вище, температура Дебая (так само, як і температура Енштейна) залежить від властивостей речовини. Для більшості твердих тіл вона дорівнює 100 - 400 К, хоча для таких речовин як берилій, алмаз вона аномально висока, що добре пояснюється підвищеною «жорсткістю» міжатомних зв'язків. У табл. 4.2 наводяться значення температури Дебая θ для деяких кристалів. З таблиці видно, що для кристалів, у яких θ <Ткомн . температуры больше комнатной являются сравнительно высокими. Поэтому для них отклонения от классических законов в этой области не слишком велики (большая часть или все фононы возбуждены). Иначе обстоит дело для кристаллов с высокой характеристической температурой, особенно в случае алмаза. Для последнего комнатная температура существенно ниже дебаевской, и ни о какой применимости классических законов не может быть и речи. В таких кристаллах даже при комнатных температурах «вымерзают» все фононы, за исключением тех, длины волн которых очень велики по сравнению размерами элементарной ячейки. Теплоемкость алмаза уже при комнатных температурах следует закону Т 3 .
Температура Дебая в для деяких кристалів