Середня арифметична величина
Середнім арифметичним значенням (часто його називають просто «середнє») називається таке середнє значення ознаки, при обчисленні якого загальний обсяг ознаки в сукупності залишається незмінним.
Виходячи з визначення, формула для розрахунку середньої арифметичної величини має вигляд:
де - середня величина, n - кількість значень, яке приймає СВ.
Результат можна отримати як суму добутків значень ознаки в кожній групі хi на число елементів в групі з такою кількістю. отримаємо формулу
=,
де n - число груп.
Таку форму середньої арифметичної називають зваженою арифметичної на відміну від простої середньої.
Як «ваг» тут виступають числа одиниць сукупності в різних групах.
Властивості середньої величини
Є кілька чудових властивостей середньої величини.
1. Сума відхилень індивідуальних значень від середнього значення ознаки дорівнює нулю.
1.1. Для зваженої середньої сума зважених відхилень дорівнює нулю.
2. Якщо кожне індивідуальне значення ознаки помножити або розділити на одне й те саме число, то і середня величина збільшиться чи зменшиться в стільки ж разів.
3. Якщо до кожного індивідуального значення ознаки додати / відняти постійне число, то середня величина зросте / зменшиться на це ж число.
4. Якщо ваги середньої зваженої помножити або розділити на постійне число, середня величина не зміниться.
5. Сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної величини менше, ніж від будь-якого іншого числа.
Модою дискретної випадкової величини Х - позначається Mo (X) називається значення випадкової величини, що має найбільшу ймовірність.
Відзначимо, що мода - це число, яке зустрічається найчастіше, а не частота розповсюдженості цього значення.
Якщо в варіаційному ряду є два або кілька рівних (і навіть кілька різних, але більших за сусідні) значень ознаки, то варіаційний ряд вважається бімодальному ( «верблюдоподобним») або мультимодальних. Це говорить про неоднорідність сукупності значень, можливо, представляє собою «агрегат» кількох сукупностей з різними модами.
Графічно мода - це абсциса найвищої точки в розподілі СВ.
Якщо впорядкувати дані за величиною, починаючи з найменшої величини, і закінчуючи найбільшою, то медіана також буде характеристикою усереднення в упорядкованому наборі даних.
Визначення. Медіана ділить упорядкований ряд значень навпіл з рівним числом (кількістю) значень як вище, так і нижче за неї.
Або: медіана визначається як величина, щодо якої принаймні 50% вибіркових значень не менше й принаймні 50% - більше.
Медіана (позначається) - це так зване «серединне значення» упорядкованого ряду значень СВ.
Виходячи з визначення, кількість значень, розташованих лівіше і правіше медіани на числової осі, однаково.
Варіація масових явищ. «Заходи розсіювання»
Розмах (інтервал зміни)
Розмах - це різниця між максимальним і мінімальним значенням зміною в наборі даних. Розмах позначається R.
Розмах R є найпростішим показником, який можна отримати для вибірки:
.
Зрозуміло, що чим сильніше варіює ознака, тим більше і навпаки.
Однією з основних числових характеристик є математичне очікування (або зважене середнє значення).
Визначення. Математичне сподівання (воно позначається МХ або М (Х)) являє собою середнє очікуване значення розглядуваного випадкової величини в великих серіях випробувань з урахуванням ймовірностей прийнятих значень і обчислюється за формулою:
яка в скороченою записи виглядає наступним чином:
Або, іншими словами: Математичне сподівання дискретної випадкової величини є сума добутків всіх її можливих значень на їх імовірності.
У серії з великої кількості випробувань середнє арифметичне отриманих в цій серії значень СВ буде наближатися до її математичного сподівання. Цей факт має два важливих наслідки.
Слідство 1. Математичне сподівання СВ, розподіл якої нам невідомо, можна оцінити середнім арифметичним значень в досить великий серії її послідовних випробувань. Більш того, чим довше серія, тим точніше оцінка.
Слідство 2. В практично цікавих випадках серій випробувань можна оцінювати найбільш ймовірний результат, виходячи з математичного очікування деякої СВ.