Знакозмінні ряди, теорема Лейбніца якщо абсолютна величина загального члена Знакозмінні

Переходячи до розгляду рядів, члени яких уже не обов'язково позитивні, зупинимося спочатку на одному важливому приватному типі цих рядів - на лавах Знакозмінні, теорія яких порівняно проста.

Ряд називається Знакозмінні. якщо будь-які два його сусідніх члена суть числа різних знаків.

Кілька змінюючи вживалася вище символіку, будемо позначати через an не саме загальний член ряду, а його абсолютну величину. Тоді, припускаючи для визначеності, що перший член Знакозмінні ряду позитивний, ми зможемо записати цей ряд у формі *

Теорема Лейбніца. Якщо абсолютна величина загального члена Знакозмінні ряду убуває і прагне до нуля, то цей ряд сходиться.

Дійсно, припустимо, що ряд (36) такий, що

Утворити часткові суми S2n:

Завдяки (37), все дужки позитивні. значить,

рішення деяких завдань

* Строго кажучи, введення цього запису представляє нову угоду, т. К. За визначенням ряду ми повинні замість (36) писати a1 + (-a2) + a3 + (-a4) +.

** Справді, у цього ряду. Перша дужка необмежено зростає, а друга не більше ніж.