Сенс ступеня з натуральним, негативним, дробовим показником, правила дії над ступенями
1) Ступені з натуральним показником:
В країні чисел виникли проблеми. Астрономи зібралися порахувати розміри видимої частини Всесвіту. Вони стверджували, що для цього необхідно помножити 25 разів число 10 саме на себе. Оскільки для цього було потрібно дуже багато місця, вони вимагали знести Палац алгоритму Евкіда, виставку чисел-близнюків і багато інших об'єктів. Хоча всім хотілося дізнатися, яка ж наша Всесвіт, але нікому не хотілося жертвувати настільки прекласнимі і цінними спорудами. Була створена комісія, яка зайнялася пошуками необхідної вільної площі, але незабаром зайшла в глухий кут.
Несподівано становище Таблиця множення. Вона рассказла свою історію: - Мене придумали для того, щоб не складати велику кількість однакових доданків. Адже тепер ніхто не пише 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, тепер записують 3 х 7. Це дуже економить місце. Давайте придумаємо щось схоже для множення.
І відразу придумали. Число множників стали записувати маленької цифрою ззаду числа:
Всі вираз стали на зувати ступенем, кількість множників (маленьку цифру зверху) - показником ступеня, а сам множник - підстава ступеня.
Не минуло й півгодини, як урочисто ввели нову дію - зведення в ступінь, як по країні чисел стали бігати 5 6. 17 4 і багато інших. Але тільки бігати нецікаво, хочеться виконувати додавання, множення, віднімання, тобто вести себе як всі порядні числа. і ту виникли такі проблеми. Після введення дій треба встановити правила дій. так, щоб нікому не заважати і ніякі закони не порушувати.
Спочатку спробували виконувати додавання, відкрили звід законів і нічого не знайшли. Про відніманні навіть думати не стали, а множення пішло дуже легко, адже будь-яка ступінь виходить з множників, значить, якщо взяти однакові підстави ступеня, то
Відразу записали в звід законів нове правило:
При множенні ступенів з однаковим підставу підставу залишається незмінним, а показники складають
З поділом виникли проблеми. Всім здавалося, що якщо розподіл дію зворотне уіноженію, то пріделеніі треба показники вичитати, але якщо. а якщо .Тоді постановили (під впливом консервативного меншини), що
При розподілі ступенів з підставами. якщо m> n, і. якщо n> m.
Провести перевірку нового правил запропонували 6 5 і 6 3.. а
При розподілі ступенів з підставами показники віднімаються. а повністю правило сформулювати важко.
Розібратися також зі ступенями з різними підставами і однаковими показниками. На допомогу прийшли переместітельний і асоціативний закони:. тому що ;
Щоб помножити ступеня з однаковими показниками треба перемножити підстави, а показник залишити без зміни.
Щоб розділити ступеня содінаковимі підставами треба розділить підстави, а показник залишити без зміни.
Виявилося, що можна навіть зводити ступеня в ступінь.
Настав загальне свято. Особливо сподобалося скорочувати дроби, розкладаючи їх на множники:
Подарунок підніс розподільний закон. Він запропонував як складати однакові ступеня. наприклад,. , Тобто. можна складати коефіцієнти.
А якщо ступеня з однаковими підставами, але з різними коефіцієнтами, то можна загальний множник винести за дужки:
2) ступеня з негативним показником:
Всі вже звикли до дій зі ступенями з натуральними показниками (їх так називають, потомучто показники - натуральні числа).
І знайшлися незадоволені, ті хто не взяв участь в створенні нових чісел.Революціонно налаштовані представники негативних чисел виступили із заявою, що їх гноблять, не дають розвиватися науці,
- Всім відомо, що при відніманні може виходити 0, а також негативні числа, - говорили вони і організували рух на підтримку ступенів з негативним показнику.
- Як же може бути негативне кількість співмножників? - здивувалися натуральні числа.
- Треба визначити. це якраз підходить під ваше правило:.
-А ступеня з негативним показником визначити, як (Z- - отріцательнин цілі числа).
Тоді формула для розподілу ступенів стане просто
- Добре, - сказали охоронці Зводу законів, - тоді доведіть, що всі правила дій зі ступенями збережуться і при введенні ступенів з негативним показниками.
Більше того, негативні числа запропонували план докази всіх теорем, про дії зі ступенями.
1.В вираженні за визначенням замінити ступінь з негативним показником на ступінь з натуральним показником.
2.Виполніть дії за правилами дій зі ступенями з натуральними показниками
3. За визначенням перейти від ступенів з натуральними показника до ступенями з негативними показниками.
А також привели пояснюють приклади:. записувати можна коротше:
Отже, виявилося, що всі правила дій збереглися для ступенів з негативними показниками.
3) ступеня з дробовим показником:
при добуванні кореня зі ступеня ділять показник ступеня на показник кореня, якщо такий розподіл виполнет остачі; наприклад: √a 4 = a 2. 3 √x 9 = x 3 і т. п. Домовимося тепер поширити це правило і на ті випадки, коли показник ступеня не ділиться без остачі на показник кореня. Наприклад, ми домовимося приймати, що
Взагалі ми домовимося, що вираз означає корінь, показник якого є знаменник, а показник подкоренного числа - чисельник дрібного показника (т. Е.n √a m).
Домовимося ще допускати і негативні дробові показники в тому ж сенсі, в якому ми допустили негативні цілі показники; наприклад, домовимося, що
Зауваження. Дробові показники були введені в алгебру головним чином голландським інженером Симоном Стевіном на початку XVII століття Пізніше, в кінці XVII століття, Оксфордський професор Джон Валліс ввів у вживання негативні показники.
259. Основна властивість дрібного показника. Величина ступеня з дробовим показником не зміниться, якщо ми помножимо або поділимо на одне і те ж число (відмінне від нуля) чисельник і знаменник дрібного показника. так:
Дійсно, знаменник дрібного показника означає показник кореня, а чисельник його означає показник подкоренного вираження, а такі показники, як ми бачили можна множити і ділити на одне і те ж число.
Грунтуючись на цій властивості, ми можемо перетворювати дробовий показник абсолютно так само, як і звичайну дріб. наприклад, ми можемо скорочувати дробовий показник, або приводити кілька дрібних показників до одного знаменника.