Рішення нестаціонарного рівняння Шредінгера в цьому випадку має вигляд
ВСТУП В квантовій механіці (продовження)
13.1 Рівняння Шредінгера для вільної частинки
При вільному русі частинки її потенційна енергія
= 0, а швидкість руху постійна. Направимо вісь х вздовж вектора, а при відповідному виборі початку відліку потенційної енергії покладемо U = 0. Тоді стаціонарне рівняння Шредінгера (12.11) набуде вигляду:
Рівняння (13.1) має рішення, яке представимо в комплексному вигляді
де А і В - деякі постійні.
Рішення нестаціонарного рівняння Шредінгера в цьому випадку має вигляд:
Отримане рішення є суперпозицію двох плоских монохроматичних хвиль з циклічною частотою, одна з яких поширюється в позитивному напрямку осі х з амплітудою А. інша в протилежному напрямку з амплітудою В. З зіставлення з формулою (13.5) для плоскої монохроматичної хвилі слід, що хвильове число k для вільної частинки одно.
Таким чином, вільної частинки в квантовій механіці зіставляється плоска монохроматична хвиля де Бройля.
13.2 Рішення стаціонарного рівняння Шредінгера для частинки
в нескінченно глибокій прямокутній потенційній ямі
Розглянемо рух частинки вздовж напрямку х. при цьому рух обмежено непроникними для частинки стінками: х = 0 і х = l. Потенційна енергія U в цьому випадку дорівнює (рис.13.1):
Рівняння Шредінгера в цьому випадку має вигляд:
Імовірність виявити частинку за межами ями дорівнює нулю, так як частка не може володіти нескінченно великою енергією. З умови безперервності хвильової функції випливає, що повинна бути дорівнює нулю і на кордонах ями, т. Е.
Мал. 13.1
В області, де не дорівнює тотожна нулю, рівняння (13.3) набирає вигляду:
Позначимо, тоді (13.5) набуде вигляду
Рішення такого рівняння, як відомо, має вигляд:
Знайдемо і , використовуючи граничні умови (13.4) З умови (0) = 0 отримуємо:
звідки випливає, що = 0. З умови, що (l) = A sin l = 0 маємо:
Зі співвідношення (13.6) випливає, що рішення рівняння (13.5) будуть мати фізичний сенс не при всіх значеннях енергії Е. а тільки при значеннях, що задовольняють умові:
Співвідношення (13.7) вказує на те, що інші значення енергії частинки ніж Enневозможни: ймовірність виявити всередині потенційної ями частку з енергією, відмінною від En, дорівнює нулю. Фізичні величини, які можуть приймати лише певні дискретні значення, називаються квантовими.
Таким чином, енергія частинки, що знаходиться в потенційній ямі, квантуется.
^ Квантовані значення Eпназиваются рівнями анергии, а числа п. Визначають енергетичні рівні електрона, називаються квантовими числами.
Для визначення коефіцієнта А скористаємося умовою нормування хвильової функції, яке в даному випадку запишемо:
Інтеграл в останньому виразі дорівнює. В результаті отримаємо, звідки.
Таким чином, власна функція частинки в нескінченно глибокій потенційній ямі має вигляд:
Г
рафіки щільності ймовірності виявлення частки на різних відстанях від стінки ями при різних значеннях n.
Наприклад, для потенційної ями з розмірами, порівнянними з розмірами атома величина l
10 -8 м, і власні значення енергії електрона утворюють послідовність енергетичних рівнів, відстань між якими ΔE = En + 1 - En 1 еВ. У потенційній ямі макроскопічних розмірів
1 см сусідні енергетичні рівні відрізняються один від одного на величину
^ 13.3 Гармонійний осцилятор. Спектр енергії осцилятора.
нульові коливання
Класичний гармонійний осцилятор являє собою кульку з масою т. Підвішений на пружині. Якщо ми направимо вісь x вздовж осі пружини і за початок відліку візьмемо положення рівноваги кульки, то сила F. діюча на кульку, буде пов'язана з координатою х відомою формулою F = -kx. де k - жорсткість пружини.
Потенційна енергія кульки має вигляд
Якщо така кулька вивести зі стану рівноваги, то він буде здійснювати гармонічні коливання з частотою = (k / m) 1/2.
З (13.9) видно, що потенційна крива гармонічного осцилятора є параболою. Тому завдання про гармонійний осцилляторе - це завдання про поведінку частинки в потенційній ямі параболічної форми.
Для вирішення завдання про квантовомеханічному осцилляторе необхідно знайти кінцеве, однозначне, безперервне і гладке рішення рівняння Шредінгера при U = -kх2 / 2, т. Е. Рівняння
Точне рішення рівняння (13.10) призводить до наступного виразу для спектра можливих значень енергії осцилятора:
Звідси видно, що найменше значення енергії осцилятора не дорівнює нулю. Значення енергії осцилятора при n = 0
називається «нульовою енергією».
Квантовомеханічна частка не може «лежати» на дні параболічної потенційної ями, точно так само як вона не може лежати на дні прямокутної, або якої б то не було іншої потенційної ями кінцевої ширини.
^ Енергія осцилятора пропорційна першого ступеня п. Тому енергетичні рівні виявляються рівновіддаленими один від іншого (еквідистантним).
Щоб «розгойдати» осцилятор, потрібно додати йому енергію, рівну різниці енергій сусідніх рівнів. Зміна (наприклад, приріст) енергії осцилятора відповідає переходам між рівнями енергії En (вказані стрілками).
На рис. 13.4, а - графіки хвильових -функцій. є рішеннями рівняння (13.10) при п = 0, 1, 2 і 6; вздовж осі х відкладені відрізки, рівні подвоєним амплітудам коливань класичного осцилятора при Е. рівних En.
На рис. 13.4, б суцільними кривими зображені криві розподілу щільності ймовірності | (x) | 2 для тих же станів квантового осцилятора, а пунктиром - щільність ймовірності знайти класичний осцилятор в околиці точки х.
б
Мал. 13.4
Видно, що при малих квантових числах п квантовомеханічний осцилятор поводиться зовсім інакше, ніж класичний. Вірогідність знайти класичний осцилятор завжди є найбільшою для точок повороту, так як в цих точках його швидкість дорівнює нулю, а для квантовомеханічного осцилятора ймовірність виявляється максимальною в точках, відповідних «пучностям» -функції.
Але при великих п усереднена крива для розподілу щільності ймовірності квантовомеханічного осцилятора добре узгоджується з кривою для класичного осцилятора.
Слід зазначити ще одну особливість квантовомеханічного осцилятора:
квадрат функції | (x) | 2не дорівнює нулю за точками повороту (т. е. поза межами, що обмежують рух класичного осцилятора).
^ 13.4 Тунельний ефект
Якщо ж висота ями кінцева, то в силу «розмитості» хвильової функції частинки (див. Наприклад, рис. 13.4, б) існує не рівна нулю ймовірність того, що частка може перебувати за межами потенційної ями.
Розглянемо потенційну яму, зображену на рис. 13.5. Це зображення відрізняється від рис. 13.1 тим, що область, в якій потенційна енергія відмінна від нуля, займає вузький інтервал, від а до b
Область а 5 Н / м 2. температура T0 = 273 К) поведінка більшості реальних газів може досить точно описуватися законами ідеального газу, але при сильних сжатіях кінцевий розмір молекул призводить до помітного відхилення поведінки реальних газів від ідеального.
^ Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу
Розглянемо обсяг газу в посудині у вигляді куба (рис. 1.1, а) і визначимо тиск на його стінку, наприклад стінку I. перпендикулярну до осі x. У кінетичної теорії газів передбачається, що тиск газу на стінку посудини створюється за рахунок пружних ударів молекул газу об цю стінку. Маси всіх молекул вважаються однаковими і рівними m0. При пружному ударі кінетична енергія молекул зберігається, і, отже, зберігається, абсолютне значення швидкості молекули до і після її удару об стінку. При пружному ударі під деяким кутом до поверхні стінки (див. Рис. 1-1б) середня сила, що діє на стінку уздовж осі z від зіткнень багатьох молекул, дорівнює нулю. Тому передача імпульсу молекули відбувається тільки в напрямку осі x (нормалі до стінки). Проекція імпульсу на вісь x змінює свій знак (ріс.1-1б).
Позначимо через ni кількість молекул в одиниці об'єму, проекції швидкості яких на вісь x рівні ± υix. Позитивна проекція відповідає гострого кута між вектором швидкості і напрямом осі, а негативна - тупому куті (див. Ріс.1-1б). При хаотичному русі кількість молекул, що мають позитивні і негативні проекції на дану вісь можна вважати однаковим і рівним ni / 2. так як рух у всіх напрямках равновероятно.
З виділеної групи молекул за проміжок часу t стінки II з площею S досягнутий лише ті молекули, швидкості яких спрямовані до стінки, і які знаходяться від стінки на відстані, що не перевищує υix t, або ті молекули, які знаходяться всередині обсягу V = Sυix t. Тоді повне число ударів молекул, що містяться в обсязі V. об стінку за час t одно:
Якщо до удару молекули об стінку проекція імпульсу на вісь x дорівнювала m0υix то після удару вона стане рівною (-m0υix)). Зміна імпульсу однієї молекули ki при ударі молекули об стінку одно імпульсу, який передається стінці
рис.1.1
В результаті ударів всіх молекул, які мають проекцію швидкості υix. імпульс, який передається стінці, буде дорівнює
Щоб знайти загальну зміну імпульсу всіх молекул при ударах об стінку Кх в напрямку осі х. потрібно підсумувати вираз (1.12) за всіма значеннями швидкостей молекул, тобто за всіма υix:
Помножимо і розділимо праву частину (1.13) на концентрацію всіх молекул в даному обсязі, яку позначимо через n.
Величина в правій частині є середнє арифметичне, або просто середнє значення квадрата проекції швидкості υix. яке позначимо. З урахуванням (1.14) вираз (1.13) набуде вигляду:
Тиск на стінку в напрямку осі х дорівнюватиме:
Сума середніх квадратів проекцій швидкостей дорівнює середньому квадрату повній швидкості:
Підставивши (1.19) в рівність (1.18), отримаємо:
. (1.20)
Формула (1.20) визначає величину тиску газу на стінки посудини. Величину тиску можна виразити через середню кінетичну енергію, що припадає на одну молекулу εk. Для цього помножимо і розділимо на 2 праву частину співвідношення (1.20):
де:. Формула (1.21) пов'язує тиск газу з середньою кінетичної енергією молекул ідеального газу. Цю формулу називають основним рівнянням кінетичної теорії газів.
Приклад 1-1. Оцінка маси, середньої енергії і швидкості руху молекул в азоті при нормальних умовах.
Масу молекули азоту можна визначити з співвідношення (1.8):
При нормальному тиску p = 10 5 Н / м 2 в 1 м 3 газу міститься n =
= 2,7 × 10 25 молекул (число Лошмідта). Відповідно до формули (1.21) середня кінетична енергія молекули дорівнює:
Швидкість руху молекул можна оцінити за формулою: