Реферат - математична логіка
У формі еквіваленціі, як правило, формулюються визначення (наприклад, визначення логічних операцій).
Приклад 7: Нехай через А позначено висловлювання «9 ділиться на 3», а через В - висловлювання «10 ділиться на 3». Складіть висловлювання, що мають логічну структуру: а); б); в); г); д); е) і визначте їх значення істинності.
Рішення. а) = «Якщо 9 ділиться на 3, то 10 ділиться на 3» = 0, тому що А = 1, а В = 0. б) = «Якщо 10 ділиться на 3, то 9 ділиться на 3» = 1. в) = «9 ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли 10 ділиться на 3» = 0. г) = «10 ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли 9 ділиться на 3» = 0. д) = «Якщо 9 не ділиться на 3, то 10 ділиться на 3» = 1 (тому що А = 1, то = 0 і В = 0, отже, = 1). е) = «9 ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли 10 не ділиться на 3» = 1 (А = 1 і = 1, тоді = 1).
У логіці висловлювань - першому і основному розділі математичної логіки - елементарні висловлювання розглядаються як нерасчленяемие «атоми», а складові висловлювання - як молекули, утворені з «атомів» застосуванням до них логічних операцій. Логіка висловлювань цікавиться єдиним властивістю елементарних висловлювань - їх значенням істинності; складові же висловлювання вивчаються нею з боку їх логічної структури, що відбиває спосіб, яким вони утворені. Структура складових висловлювань визначає залежність їх значень істинності від значень істинності складових елементарних висловлювань.
Так як сенс висловлювань математичну логіку не цікавить, їх цілком можна замінити змінними.
Нехай X, Y, ..., Z, ..., Xi, Yi, ..., Zi - змінні, замість яких можна підставити будь-які елементарні висловлювання (або їх значення істинності). Такі змінні називають пропозіціональнимі або висказивательной змінними. За допомогою висказивательной змінних і символів логічних операцій будь-яке висловлювання можна формалізувати. тобто замінити формулою, що відображає його логічну структуру.
Почнемо з того, що уточнимо поняття формули логіки висловлювань. Для цього поставимо алфавіт. тобто набір символів, які ми будемо вживати в логіці висловлювань:
-
Х, Y, ..., Z, ..., Xi, Yi, ..., Zi (i - натуральне число) - символи для позначення висказивательной змінних;
І, Л, 1, 0 - символи, що позначають логічні константи «істина» і «брехня»;
- символи логічних операцій;
(,), [,] - дужки (допоміжні символи, службовці для вказівки порядку виконання операцій).
-
Будь-яка висказивательной змінна - формула ЛВ.
Символи І, Л, 1, 0 - формули ЛВ.
Якщо F - формула ЛВ, то- формула ЛВ.
Якщо F1і F2- формули ЛВ, то ,, и- формули ЛВ.
Ніяких інших формул в логіці висловлювань немає.
Домовимося для спрощення записів не укладати в дужки формули, які не є частинами інших формул або стоять під знаком заперечення. Зауважимо, що у формулі число лівих дужок завжди має дорівнювати числу правих дужок.
Опишемо процедуру формалізації висловлювань:
і т.д.