Раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами

Питання про знаходження раціональних коренів многочлена f (x)

Q [x] (з раціональними коефіцієнтами) зводиться до питання про відшукання раціональних коренів многочленів k ∙ f (x)Z [x] (з цілими коефіцієнтами). Тут число k є найменшим спільним кратним знаменників коефіцієнтів даного многочлена.

Необхідні, але не достатні умови існування раціональних коренів многочлена з цілими коефіцієнтами дає наступна теорема.

Теорема 6.1 (про раціональні коріння многочлена з цілими коефіцієнтами) .Якщо

-раціонально корінь многочленаf (x) = anxn ++ ... + a1x + a0сцелимікоеффіціентамі, причому (p, q) = 1, то чисельник дробіpявляется дільником вільного члена а0, а знаменательqявляется дільником старшого коефіцієнта а0.

теорема 6.2.Еслі

Q (де (p. Q) = 1) є раціональним коренем многочленаf (x) з цілими коефіцієнтами, то-цілі числа.

Приклад. Знайти всі раціональні корені многочлена

1. По теоремі 6.1: якщо

- раціональний корінь многочлена f (x), (де (p, q) = 1), то a0 = 1 p, an = 6 q. Тому p 1>, q, значить,

.

2. Відомо, що (наслідок 5.3) число а є коренем многочлена f (x) тоді і тільки тоді, коли f (x) ділиться на (х - а).

Отже, для перевірки того, чи є числа 1 і -1 корінням многочлена f (x) можна скористатися схемою Горнера:

Отримали: q (

) = 0, тобто- кореньq (x), а значить, - кореньf (x). Таким чином, многочлен f (x) має два раціональних кореня: і.

Звільнення від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику дробу

У шкільному курсі при вирішенні деяких типів завдань на звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу досить помножити чисельник і знаменник дробу на число поєднане знаменника.

Тут в знаменнику спрацьовує формула скороченого множення (різниця квадратів), що дозволяє звільнитися від ірраціональності в знаменнику.

2. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу

t =

. Вираз - неповний квадрат різниці чисел = иb = 1. Скориставшись формулою скороченого множення а3-b3 = (а + b) · (a2-ab + b2), можна визначити множник m = (а + b) = + 1, на який слід домножать чисельник і знаменник дробіt. щоб позбутися від ірраціональності в знаменнику дробу t. Таким чином,

У ситуаціях, де формули скороченого множення не працюють, можна використовувати інші прийоми. Нижче буде сформульована теорема, доказ якої, зокрема, дозволяє знайти алгоритм звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу в більш складних ситуаціях.

Визначення 6.1. Число z називається алгебраїчним над полемF. якщо існує многочлен f (x)

F [x], коренем якого є z. в іншому випадку число z називається трансцендентним над полемF.

Визначення 6.2.Степенью алгебраїчного над полемFчіслаz називається ступінь приводиться над полем F многочлена p (x)

F [x], коренем якого є число z.

Приклад. Покажемо, що число z =

є алгебраїчним над полемQ і знайдемо його ступінь.

Знайдемо непріводімий над полем Q многочлен p (х), коренем якого є x =

. Зведемо обидві частини равенстваx = в четверту ступінь, получімх4 = 2 або х4- 2 = 0. Отже, p (х) = х4- 2, а ступінь числа z дорівнює degp (х) = 4.

Теорема 6.3 (про звільнення від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику дробу) .Пустьz- алгебраїчне число над полемFстепеніn. Вираз відаt =

,гдеf (x), (X)F [x], (Z)0

єдиним чином може бути представлено у вигляді:

t = сn-1zn-1 + cn-2zn-2 + ... + c1z + c0. ci

F.

Алгоритм звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу продемонструємо на конкретному прикладі.

Приклад. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу:

1. Знаменником дробу є значення многочлена

(Х) = х2 - х +1 при х = . У попередньому прикладі показано, що- алгебраїчне число над полемQ ступеня 4, так як воно є коренем приводиться над Q многочлена p (х) = х4- 2.

2. Знайдемо лінійне розкладання НОД (

(Х), p (x)) за допомогою алгоритму Евкліда.

-x-2 -

x - = Q3 (x)

Отже, НСД (

(Х), p (x)) = r2 = 7. Знайдемо його лінійне розкладання.

Запишемо послідовність Евкліда, користуючись позначеннями многочленів.

p (x) =

(X) · q1 (x) + r1 (x)r1 (x) = p (x) - (X) · q1 (x)

(X) = r1 (x) · q2 (x) + r2 (x) r2 (x) = (X) - r1 (x) · q2 (x)

Підставами в рівність 7 = r2 (x) =

(X) - r1 (x) · q2 (x) значення залишку r1 (x) = p (x) - (X) · q1 (x), після перетворень отримаємо лінійне розкладання НОД ((Х), p (x)): 7 = p (x) · (- q2 (x)) + (X) · [1 + q1 (x) · q2 (x)]. Якщо підставити в останню рівність замість позначень відповідні многочлени і врахувати, що p () = 0, то маємо:

(1 -

+) · (-+ 2+ 3+ 1)] = 7 (1)

3. З рівності (1) випливає, що якщо знаменник дробу t помножити на число m = [1 + (-

+ 2+ 3+ 1)], то отримаємо 7. Таким чином,

МЕТОДИКА 16. Тема уроку: Стандартний вид многочлена

Тип уроку: урок перевірки та контролю знань і умінь

- перевірити вміння приводити многочлен до стандартного вигляду

- розвивати в учнів логічне мислення, увагу

1. Доповніть пропозиції:

а) Вираз, що містить суму одночленним називають ... (многочленом).

б) Многочлен складається зі стандартних одночленним і не містить подібних доданків називається ... (стандартним многочленом).

в) Найбільшу зі ступенів одночленним входять в многочлен стандартного вигляду називають ... (ступенем многочлена).

г) Перш ніж визначити ступінь многочлена, потрібно ... (привести його до стандартного вигляду).

д) Для знаходження значення многочлена потрібно зробити перше ... (представити многочлен в стандартному вигляді), друге ... (підставити значення змінної в даний вираз).

2. Знайти значення многочлена:

3. Привести многочлен до стандартного вигляду:

4. Привести многочлен до стандартного вигляду та з'ясувати при яких значеннях х його значення дорівнює 1: