Пружні і квазіпружної сили
З'ясуємо якими силами викликаються гармонійні коливання, скориставшись законами динаміки.
За другим законом динаміки сила F, що діє на матеріальну точку чисельно дорівнює добутку маси точки m на її прискорення w. Підставляючи в це співвідношення знайдене раніше вираз w для гармонійного коливання, визначимо значення сили діючої на точку в кожен момент часу. Порівнюючи це рівняння з помічаємо, що. де. тобто сила, що викликає гармонійні коливання, володіє двома важливими властивостями:
- величина сили прямо пропорційна зміщенню точки від центру коливань;
- напрямок сили протилежно напрямку зсувів, тобто сила завжди спрямована до центру (при x> 0 F<0, и при x>0 F<0).
Крім того з F = -kx слід, що при x = 0 і F = 0, тобто в центрі коливання 0 на точку М сила не діє. Іншими словами, центр коливань є становищем рівноваги точки М.
Розглянемо рух матеріальної точки маси m під дією пружної пружини масою якої пренебрежем. Точка рухається уздовж вертикальної осі x так, що сила тяжіння не впливає на її рух. Точка 0 на осі x відповідає положенню рівноваги матеріальної точки, тобто положенню при якому пружина не деформована.
При зміщенні точки вгору на величину x на неї буде діяти сила F пружності розтягнутої пружини рівна закону Гука: Fупр = -kx<0. Эта сила направлена вниз т.е. к положению равновесия точки 0.
При зміщенні матеріальної точки вниз від 0 на величину x на неї буде діяти сила Fупр = -kx> 0 спрямована вгору, тому що x<0.
Отже, за будь-яких зсувах від положення, рівноваги тобто від точки 0, матеріальна точка буде знаходитися під дією сили, спрямованої до 0 і дорівнює Fупр = -kx.
Порівнюючи F = -kx і Fупр = -kx бачимо, що матеріальна точка m, будучи виведена зі стану рівноваги, почне здійснювати гармонічні коливання.
Коефіцієнт k є коефіцієнт пружності, або жорсткості пружини. Чисельно він дорівнює силі, яку потрібно прикласти до пружини, щоб розтягнути (або стиснути) пружину на одиницю довжини. Частоту коливань матеріальної точки М під дією пружини (масою якої ми нехтуємо) з коефіцієнтом пружності k можна отримати з mw 2 = k
Ця частота коливань називається частотою власних коливань системи і позначається w0. це частота коливань системи за рахунок внутрішніх сил.
Частота і період пошукові роботи не залежать від амплітуди коливань і визначаються тільки величинами m і k. Амплітуда і фаза коливань (або початкова фаза j0) визначаються з початкових умов, при яких виник рух.
Аналогічне гармонійне рух виникає і при русі вантажу m, підвішеного на пружині з урахуванням дії прискорення вільного падіння. Відмінність від розглянутого вище випадку полягає в тому, що положення рівноваги буде мати місце при кілька розтягнутої пружини. Пружна сила розтягування в положенні рівноваги в точності рівна силі тяжіння і буде спрямована вгору. Врівноважує її:
Щоб матеріальна точка m здійснювала гармонійні коливання не обов'язково, щоб на неї діяли саме пружні сили. Досить, щоб сила при зміщенні від положення рівноваги змінювалося відповідно до закону F = -kx.
Якщо сила, яка не є за своєю природою пружною, підкоряється закону F = -mw 2 x = -kx, то вона називається «квазіпружної» силою (по латині «quasi» означає «як-би»).
Розглянемо приклад гармонійного коливального руху під дією квазіупругіх сил.
Маятник настінного годинника є настінний вантаж, який укріплений на довгому тонкому стрижні, підвішеному шарнірно на горизонтальній осі C перпендикулярно стрижню. У першому наближенні пренебрежем масою стержня і будемо вважати всю масу вантажу m зосередженої в його центрі М. Подібна система, що складається з матеріальної точки m, підвішена на невагомому твердому стрижні або нерастяжимой нитки довгі СМ = L, називається математичним маятником.
Відхилимо стрижень на деякий кут a від вертикалі і розкладемо подумки силу ваги P = mg, що діє на точку М на 2 складові F ¢ і F, спрямовані відповідно уздовж стрижня і перпендикулярно до нього. Сила F ¢ = Pcosa буде розтягувати стрижень і урівноважиться реакцією стрижня S. неврівноваженість залишиться складова сили F = Psina. Таким чином на точку М буде діяти 2 сили P і S, спрямовані під кутом p-a один до одного. Рівнодіюча цих сил за правилом паралелограма буде сила F = Psina, спрямована по дотичній до дуги ОМ в сторону точки 0.
Коли вантаж прийде в найнижча положення, тобто в точку 0, сили P і S повністю врівноважити. Таким чином точка 0 є положення рівноваги вантажу m. Позначимо відрізок дуги ОМ, що характеризує шлях, пройдений точкою М з положення рівноваги, через x і будемо вважати кут a і величину x позитивними при відхиленні стрижня з вантажем вправо від вертикалі і негативними - при відхиленні вліво. Кут a вимірюваний в радіанах чисельно дорівнює відношенню довжини дуги x, на яку він спирається до радіусу кола l, тоді (з урахуванням напрямку) сила F, що діє на точку М, може бути виражена у вигляді
Для малих кутів відхилення від вертикалі не перевищують 5-6 °, тобто при a<0,1 с достаточной степенью точности можно заменить sina углом a (в радианах). Тогда сила, действующая на точку М будет равна .
Порівнюючи цей вираз з F = -kx бачимо, що результуюча сила F, що діє на математичний маятник, що знаходиться в полі земного тяжіння, є квазіпружної силою з коефіцієнтом k = mg / l.Поетому математичний маятник буде здійснювати гармонійне коливальний рух з періодом
Амплітуда коливань А і початкова фаза коливань j0 будуть залежати від початкового зсуву і початкової швидкості точки М.
Реальний, так званий фізичний маятник при малих кутах відхилення від вертикалі буде також здійснювати гармонічні коливання. Зі співвідношення випливає, що період коливань математичного маятника не залежить від його маси m, а визначається лише його довгою l і прискоренням сили тяжіння g в даній точці земної кулі. Період коливань фізичного маятника залежить теж від маси маятника m, а від розподілу мас в ньому і характеризується відношенням I / m, де I - момент інерції системи відносно центру коливань, а m - маса всієї системи. В останньому випадку можна ввести поняття приведеної довжини фізичного маятника. тоді період коливань.
Тому пересуванням вантажу щодо маятника можна регулювати хід годинника з маятником. Якщо годинник відстає, то треба пересувати вантаж ближче до осі і навпаки.