Прийоми обчислення сум нескінченних послідовностей
У магазин прийшло безліч математиків. Перший попросив кілограм цукру, другий - півкіло, третій - чверть кілограма.
-Так! - перервав їх продавець, - Забирайте свої два кілограми і провалюйте.
Отже, перше питання, яке розглянемо - чому сума +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ dots "/> дорівнює двом.
Доведемо цей факт двома способами.
У першому способі взагалі немає потреби оперувати з нескінченними послідовностями, тому його можна показати навіть в 6 класах, відразу після вивчення ступенів.
Додамо до обох частин дріб "/>. Отримаємо:
Потім схлопнется сума двох дробів, кожна з яких дорівнює> "/>:
Сума буде згортатися з правого краю, як ряд кісточок доміно. Закінчиться це виразом:
Зрозуміло, що чим більше n, тим менше S буде відрізнятися від двох.
Для вирішення другим способом знову запишемо потрібну суму
+% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ dots "/>
B віднімемо з першого рівності друге:
Всі складові, окрім першого, знищаться і ми отримаємо:
= 1 "/>
Даний метод використовується в загальному вигляді для виведення формули суми геометричної прогресії.
Отже, наш перший результат сьогодні.
Але ключове питання: як додуматися до цієї закономірності? Виявляється, якщо в знаменнику дробу варто твір, то вона видається сумою дробів, у яких знаменники рани множників, що входять в цей твір.
В даному випадку
Знайдемо ці А і В, звівши суму назад до спільного знаменника:
+% 2B + \ frac = \ frac "/>
Чисельники повинні бути тотожно рівні, тому
A + B = 0 і A = 1.
Значить B = -1. Звідси і отримуємо співвідношення:
Такий підхід можна застосувати і коли в знаменниках стоять більш складні твори.
Тепер розглянемо, що вийде, якщо знаменниками дробів будуть ступеня двійки, а числителями - послідовні натуральні числа. (Аналогічне завдання піднімалася в статті про механічне генераторі випадкових чисел.)
знайдемо суму
+% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ dots "/>.
Це також можна зробити двома способами. У першому позначимо шукану суму як S, знайдемо її половину і віднімемо половину з цілого:
Другий спосіб трохи довший, але побудований на не менше красивою ідеєю.
Запишемо суму у вигляді трикутника:
Так що шукана сума дорівнює +% 2B + \ frac +% 2B + \ dots = 4 "/>
На сьогодні досить. А через тиждень розглянемо, що буде, якщо в третій сумі в чисельнику йтимуть числа Фібоначчі, як Ейлер довів, що сума зворотних квадратів дорівнює одній шостій квадрата числа пі, і чому гармонійної ряд розходиться.