Парність, 5 клас, гуртки, малий мехмат МДУ
0. Що таке парні і що таке непарні числа? Яким є число 0: парним або непарним?
Рішення. Парним називається число, яке ділиться на 2 (без остачі). Непарним - число, яке не ділиться на 2.
0 - парне число, тому що 0: 2 = 0.
1. Чи можна розміняти 25 лір десятьма монетами в 1, 3 і 5 лір?
Рішення. Ні, так як сума парного кількості (в даному випадку 10) непарних доданків буде парним число. Але 25 - непарне число.
2. Чи існують два натуральних числа, сума і твір яких непарні?
Рішення. Ні, не існують.
Якби такі числа існували, то для того, щоб їх твір був непарним, потрібно, щоб вони обидва були непарними. Але тоді їх сума буде парною. Протиріччя.
3. Хуліган Гоша порвав шкільну стінгазету на 3 частини. Після цього він взяв один з шматків і теж порвав на 3 частини. Потім знову один з шматків порвав на 3 частини і т.д. Чи могло у нього в підсумку вийти 100 частин?
Рішення. Ні, не могло. Якщо будь-який шматок стінгазети розірвати на 3 частини, то загальне число шматків збільшиться на 2. Виходить, загальна кількість частин завжди буде непарним. Але 100 - парне число.
4. Позначимо буквою Ч парні числа, а буквою Н - непарні. Заповніть пропуски так, щоб вийшли вірні співвідношення:
Ч · Ч = # 9711;
5. На шахівниці на одній з клітин стояв кінь. Він зробив кілька ходів і повернувся в ту ж клітку. Парне чи непарне число ходів він зробив?
Рішення. Після кожного ходу коня змінюється колір клітини, на якій він стоїть (Тобто з чорної клітини він переходить на білу, з білою - на чорну.) В результаті кінь повернувся на ту ж клітку, на якій він був спочатку (тобто . на клітку того ж кольору). Значить, він зробив парне число ходів.
6. В ряд виписані числа від 1 до 10. Чи можна між ними розставити знаки "+" і "-" так, щоб вийшов 0?
Рішення. Не можна, так як серед чисел від 1 до 10 непарну кількість непарних.
7. Парламент складається з двох рівних за чисельністю палат. На спільному засіданні, пов'язаному з прийняттям важливого рішення, були присутні всі представники обох палат. Через важливості питання при голосуванні ніхто не утримався. Після підведення підсумків було оголошено, що рішення прийнято більшістю в 25 голосів. Опозиція закричала: "Це обман!" Як це вдалося визначити?
Рішення. Подивимося на загальну кількість депутатів в обох палатах. Воно парно, так як весь парламент складається з двох однакових за чисельністю палат.
Позначимо кількість депутатів, які голосували проти, за x. Тоді тих, хто голосував за, було x + 25. Загальна кількість депутатів тоді має дорівнювати 2 x + 25 - непарному числу. Але ми знаємо, що воно парне. Значить, голоси були пораховані неправильно.
8. На цей раз хуліган Гоша виправив дві цифри в прикладі на множення. Вийшло 4 · 5 · 4 · 5 · 4 = 2247. Допоможіть вчительці Марії Петрівні відновити вихідний приклад. (Визначте, які цифри на що були виправлені, і поясніть, чому по-іншому це зробити було не можна.)
Рішення. Наявність будь-якого з трьох множників 4 в лівій частині рівності призводить до того, що в правій частині має стояти парне число, яке закінчуватися на непарну цифру 7 не може. Так як всі три цих множника ми змінити не можемо, значить, щоб отримати початкове рівність, точно потрібно поміняти цифру 7.
Крім цього, залишається поміняти ще тільки одну цифру. У лівій частині рівності є два множники 5. Наявність будь-якого з них означає, що число в правій частині закінчується на 5 або на 0. Так як хоча б одна з цих п'ятірок точно була спочатку, то виходить, що на місці 7 було 5 або 0 . Зліва точно були четвірки (так як їх цілих три), тому остання цифра правого числа точно була парною, тобто 0.
Залишилося визначити ще одну змінену цифру. Якщо нічого не змінювати зліва, то значить, справа має бути 4 · 5 · 4 · 5 · 4 = 1600.. Але 1600 з 2240 заміною однієї цифри не виходить. Значить, друга зміна точно було зліва, а справа точно було 2240.
2240 містить тільки один простий множник 5. Значить, точно одну з п'ятірок зліва потрібно замінити на іншу цифру так, щоб твір дорівнювало 2240. Ця цифра 2240: 4: 4: 4: 5 = 7. Тобто одну з п'ятірок треба замінити на 7.
Відповідь. 4 · 7 · 4 · 5 · 4 = 2240 або 4 · 5 · 4 · 7 · 4 = 2240.
додаткові завдання
9. На диво-дереві росли 30 апельсинів і 25 бананів. Кожен день садівник знімав рівно два фрукта. Причому, якщо він знімав однакові фрукти, то на дереві з'являвся новий банан, а якщо різні - новий апельсин. Зрештою, на дереві залишився один фрукт. Який: банан або апельсин?
Рішення. Після того, як садівник знімає два фрукта, можливі три ситуації:
- зняли два апельсина. Тоді число апельсинів зменшилася на 2, а число бананів збільшилася на 1.
- зняли два банана. Тоді число апельсинів не змінилося, а число бананів зменшилася на 1.
- зняли один апельсин і один банан. Тоді число апельсинів не змінилося (один зірвали, один виріс), а число бананів зменшилася на 1.
Виходить, що число апельсинів завжди або не змінюється, або зменшується на 2. Спочатку апельсинів було 30 - парне число. Так як парність їх кількості ніколи не змінюється, то залишитися 1 апельсин не може, так як 1 - непарне число. Значить, залишився банан.
10. Квадрат розміром 6 × 6 покритий без накладень кістками доміно розміром 1 × 2. Доведіть, що можна розрізати квадрат, не пошкодивши жодної доміношки.
Рішення. Покажемо, що будь-яка пряма, що проходить по лініях клітин, розрізає парна кількість доміношек. З кожної з двох сторін щодо будь-якої такої прямої буде парне число клітин (так як кожна з двох частин, на які виявилася розрізана дошка, складається з декількох рядків або стовпців по 6 клітин). Але якщо виявилося, що пряма розрізала непарне число доміношек, то кожна з цих частин повинна складатися з декількох доміношек по 2 клітини і непарної кількості половинок доміношек по 1 клітці. Тобто в цьому випадку такі частини повинні складатися з непарної кількості клітин. Протиріччя.
Припустимо тепер, що будь-яка з 10 прямих (5 вертикальних, 5 горизонтальних) розрізає хоча б одну Доміношки. Так як 1 - непарне число, то кожної прямої має бути пересічено хоча б 2 доміношки. При цьому кожна доміношка може бути пересічена не більше, ніж одній прямій. Значить, все доміношек має бути не менше, ніж 10 · 2 = 20. Але їх тільки 36: 2 = 18. Протиріччя. Значить, є пряма, яка не перетинає жодної доміношки. По ній і потрібно розрізати дошку.
Ви бачите помилку? Виділіть її та натисніть Ctrl + Enter!