Основні поняття теорії ймовірностей - студопедія
Тут буде розглянуто поняття ймовірності, що лежить в основі, як теорії ймовірностей, так і математичної статистики.
Коли ми говоримо про походження будь-якого випадкового події. то завжди маємо на увазі більшу чи меншу можливість цього. Випадання снігу, наприклад, подія випадкове і поява його абсолютно точно передбачити не можна. Однак, можливість появи його взимку дуже велика, а поява його влітку - майже неймовірно. Таким чином, поява будь-якого випадкового події в будь-яких конкретних умовах має різну можливість.
Чи подолає той чи інший спортсмен висоту 180 см? Все залежить від того, підготовлений він відповідним чином чи ні, долав він таку висоту раніше на тренуваннях чи ні, чи має він досвід участі в змаганнях, який його стан здоров'я в даний момент і т. Д. Іншими словами, можливість подолати таку висоту різна у різних спортсменів. Отже, випадкова подія - чи подолає спортсмен висоту 180 см - має різну можливість здійснення.
Якщо різні випадкові події мають різну можливість для здійснення, є сенс говорити про якийсь числовий характеристиці, що відбиває факт різного ступеня можливості появи випадкової події.
Такий характеристикою є ймовірність-основне поняття теорії ймовірностей.
Імовірність є число, що характеризує можливість здійснення випадкової події в певному випробуванні.
Під випробуванням на увазі, умови або обставини, при яких здійснюється поява даної події.
Щоб привести спосіб обчислення ймовірності, потрібно дати ще кілька визначень і понять.
Імовірність, як число, зазвичай обчислюють після того, як проведена серія випробувань. Природно, в відповідно до основних положень теорії ймовірностей, чим більша кількість випробувань проведено, тим точніше буде обчислено ймовірність.
У проведеної серії випробувань підраховують:
1) кількість випробувань, що мають сприятливий для цілей завдання результат, тобто кількість випробувань, в яких потрібне нам подія з'явилося. Позначимо їх число буквою m;
2) кількість всіх випробувань, що мали місце в даній серії. Передбачається, що будь-який результат цих випробувань не має переваг перед іншими, т. Е. Все наслідки мають рівні можливості для того, щоб відбутися. Ці результати випробування називаються рівноможливими. Позначимо їх n.
Імовірність появи випадкової події в даному випробуванні є частка від ділення числа сприятливих результатів випробувань (m) на рівноможливими (n).
Імовірність позначається, прописаний латинською буквою Р. В дужках поруч з нею пишуть зазвичай букву (як правило, використовують латинський алфавіт), яка символічно позначає назву розглянутого випадкового події.
Наприклад, Р (А) позначає: ймовірність походження події А. Якщо, повертаючись до вищенаведеного прикладу, домовимося подолання спортсменом висоти позначати буквою А. то вираз Р (А) в цій конкретній задачі означатиме ймовірність того, що спортсмен подолає висоту 180 см.
Формула ймовірності буде виглядати наступним чином:
де Р (А) -можливість появи події А в даному випробуванні; m - кількість сприятливих результатів випробування; n-кількість рівно можливих випадків випробувань.
Розглянемо це на конкретному прикладі.
Приклад 16. Кінцевою метою серії тренувань плавця є подолання їм дистанції 200 м вільним стилем за час 2.17,0.
Після відповідної підготовки він пропливав цю дистанцію 25 разів. Результати його такі: 18 раз він показав бажаний результат, в інших випадках - результат був гірший. Яка ймовірність того, що в тих же умовах він подолає дистанцію 200 м за потрібний час-2.17,0?
Позначимо ймовірність шуканого випадкового події буквою А. Визначенню підлягає ймовірність Р (А).
Відповідно до формули (15) ймовірність події А знаходиться так:
де m - сприяють; n -равновозможние результати випробувань.
В даному прикладі сприяють результатів випробувань було 18, тобто n = 18.
Рівноможливими наслідки випробування - це все випробування, що мали місце в даному прикладі. Їх число n = 25.
Таким чином, ймовірність шуканого події знаходиться так:
Р (А) = 0,72-є числова характеристика того, що в даному випробуванні спортсмен подолає дистанцію 200 м за 2.17,0.
Імовірність зазвичай виражається десятковим дробом. У деяких випадках її переводять у відсотки, для чого отриману десяткову дріб слід помножити на 100%. В даному прикладі Р (А) = 0,72.100% = 72%.
Імовірність ще можна трактувати як ступінь впевненості в тому, що в даному випробуванні розглядається випадкова подія відбудеться.
Приклад 17. Три групи школярів змагаються в бігу на 100 м. У першій групі 5, у другій - 7, а в третій - 6 чоловік. Всього - 18 школярів.
Яка ймовірність перемоги представників першої, другої і третьої групи, якщо рівень спортивної підготовки у всіх школярів однаковий?
З умови прикладу, очевидно, що, швидше за все переможцем, буде спортсмен другої групи, так як в ній більше учасників. Але це інтуїтивно. Для визначення точної характеристики такого припущення знайдемо: ймовірність перемоги членами першої групи Р (А), ймовірність перемоги членами другої групи Р (В) і ймовірність перемоги спортсменами третьої групи Р (С).
Для визначення Р (А) з'ясовуємо: число сприятливих результатів випробувань для першої групи m = 5, рівно можливих - n = 18. Імовірність Р (А) знаходимо за формулою (15):
де число сприятливих результатів випробувань m = 7, число рівно можливих випадків n = 18.
Таким чином, з огляду на вихідні умови, ймовірності перемоги першої, другої і третьої груп відповідно рівні:
Р (А) = 0,277; Р (В) = 0,388; Р (С) = 0,333.
Як і слід було очікувати, шанси на перемогу у другої групи - найбільші.
Приклад 18. Спортсмен виконує потрійний стрибок, бажаючи досягти результат 14,50 м. З 20 стрибків в 12 він показав 14,50 м. Яка ймовірність того, що на змаганнях спортсмен досягне бажаного результату?
m - число сприятливих результатів випробувань, m = 12, n - рівноможливими наслідки, n = 20. Імовірність успіху:
Відповідно до визначення, що ясно також із прикладів, ймовірність, як число, визначається після того, як пройшла серія випробувань. Мається на увазі той факт, що в серії випробувань, які ще не проведені, але матимуть місце, знайдена ймовірність появи випадкової події буде та ж, якщо будуть дотримані ті ж умови, що в минулій серії випробувань.
Наприклад, визначивши в прикладі 16, що ймовірність подолання плавцем дистанції 200 м вільним стилем за час 2.17,0 становить Р (А) = 0,72, ми знайшли величину 0,72 на підставі вже пройшли запливів. Однак ми маємо всі підстави припускати, що при тих же умовах: то ж стан здоров'я, та ж ступінь підготовленості, та ж дистанція, той же стиль і т. Д. Ймовірність свідчення 2.17,0-все та ж Р (А) = 0 , 72.
Таким чином, чисельне значення ймовірності, знайдене на підставі минулих випробувань, придатне для застосування в різних перспективних ситуаціях, де виникає необхідність оцінки появи будь-якого випадкового події.
Повернемося до формули (15) і ще раз проаналізуємо величини m і n.
Якщо n-число всіх рівно можливих випадків випробувань, а m - це число вдалих результатів, то очевидно, що m становить деяку частину від n.
Дійсно, якщо m = 18, а n = 25 в прикладі 16, то 18 сприяють результатів випробувань є деяка частина від усіх 25 рівно можливих.
У зв'язку з цим є сенс звернути увагу на два крайніх умови: 1) якщо число всіх сприятливих результатів дорівнює числу всіх рівно можливих - т = п і 2) якщо сприяють випадків не було - m = 0 - і все випробування є рівноможливими.
У прімере16 ці два крайні умови виглядають так:
1) проведено n = 25 випробувань і все 25 виявилися вдалими m = 25 (у всіх 25 випробуваннях він показав бажаний результат 2.17,0). У цьому випадку ймовірність Р (А) є:
Як видно з цього прикладу, більш ніж Р (А) = 1 отримати числа не можна, т. К. Т не може бути більше ніж 25.
Таким чином, ми отримали одне крайнє умова: якщо m = n. то Р (А) = 1 і вище цього числа воно бути не може.
Події, ймовірність яких дорівнює одиниці, називаються достовірними в тому сенсі, що в даному випробуванні вони повинні відбутися обов'язково;
2) вироблено n = 25 випробувань і жодне з них не виявилося вдалим m = 0 (спортсмен жодного разу не подолав дистанцію за час 2.17,0, а показував результати гірше). В цьому випадку шукана ймовірність є:
Менше числа 0 ймовірність бути не може, так як розглянуті вже всі випробування і жодне не вдалося.
Події, ймовірність яких дорівнює нулю, називаються неможливими в тому сенсі, що в даному випробуванні вони ніколи не відбудуться.
Таким чином, в крайніх положеннях ймовірність дорівнює нулю і одиниці. У всіх інших випадках вона буде приймати значення між нулем і одиницею. Записують це так:
тобто значення ймовірності коливається в межах від нуля до одиниці.
Числовий інтервал від нуля до одиниці дає можливість орієнтуватися в оцінці величини ймовірності.
Крайні два значення визначають ймовірності неможливих і достовірних подій. Всі інші характеризують ймовірності подій, появу яких можливо в більшій чи меншій мірі. Враховуй наведений інтервал, можна вважати, що Р (А) = 0,7 ÷ 1,0 характеризує велику ймовірність, т. Е. Високу ступінь впевненості в тому, що дана подія відбудеться; Р (А) = 0,4 ÷ 0,6 дає уявлення про середню можливості появи події, а Р (А) = 0,1 ÷ 0,3 - про дуже малому ступені можливості появи даної події.
Так, в прикладі 16 Р (А) = 0,72, отже, ймовірність подолати дистанцію 200 м вільним стилем за 2.17,0 висока. Можливість зробити потрійний стрибок] 4,5 м спортсменом дорівнює Р (А) = 0,6 (середня імовірність).
Цей же показник можна отримати при оцінці всіх ймовірностей в процентах.
Знаходження чисельного значення ймовірності Р (А) за формулою (15) дозволяє орієнтуватися в найпростіших імовірнісних ситуаціях. Можна, наприклад, знати, які шанси у спортсмена перемогти в змаганнях, чого вже досяг спортсмен в тренуваннях і як можна поліпшити, розрахувати елементарні ігрові позиції і т. Д.
Більш складні імовірнісні ситуації описуються не одним поняттям ймовірності, а цілими рівняннями, в які Р (А) входить як складова частина.
Повернемося ще раз до вищенаведеної формулою (15): Р (А) =
Знаменник її є кількість рівно можливих випадків випробувань. У самій цій назві криється сенс і суть даного визначення. Равновозможних-той, який має рівні можливості, щоб відбутися. Таким чином, визначення ймовірності за формулою (15) справедливо лише в тому випадку, якщо всі результати випробувань, що мали місце в даній серії, мають рівні шанси з'явитися. Якби ми розглянули будь-яких 100 випробувань неравновозможних, т. Е. Не мають рівних шансів на появу, і з них будь-яких 25 цікавлять нас відбулися, то обчислення за формулою (15) Р (А) = = не відповідало б істинного стану справ і ці обчислення були б несправедливі.
Розглянуте обставина дуже ускладнює роботу над ймовірними процесами.
Повертаючись до реальних імовірнісним ситуацій, звернемо увагу на те, що домогтися «чистої» рівній можливості в появі будь-яких випадкових явищ або процесів вельми складно. Зокрема, це можна спостерігати в спорті. Так, в прикладі 16 ми розглянули 25 рівно можливих спроб спортсмена подолати дистанцію 200 м вільним стилем за час 2.17,0. Однак, строго кажучи, всі 25 спроб не були рівно можливими, так як вони могли відрізнятися один від одного різним ступенем підготовленості спортсмена (наприклад, 25-я спроба могла бути краще 1-й і т.д.), його станом здоров'я, настроєм, зовнішніми умовами та ін. Таким чином, вирішуючи завдання на підставі n = 25 рівно можливих випадків випробувань, ми внесли до неї завідомо спрощує умова, за рахунок чого, мабуть, знизили точність остаточної відповіді.
У прикладі 17 було розглянуто 18 рівно можливих учасників змагань. Однак, і в цьому випадку в такому припущенні немає ніякої гарантії.
У прикладі 18 можна також висловити сумніви з приводу прийнятої рівно можливих, т. К. 20 стрибків не завжди строго повторюють один одного, відрізняючись один від одного зусиллями при відштовхуванні спортсмена, розгоном і т. Д.
Таким чином, навіть в найпростіших ситуаціях користування формулою (15) наближається до істини тоді, коли рівноможливими наслідки випробувань дійсно мають рівні шанси на успіх.