Основні поняття теорії ймовірностей, lampa - онлайн-підручник, який кожен може поліпшити
Що потрібно знати
Що ви дізнаєтеся
- Що таке випробування і результат
- Що таке випадкова подія
- Як шукати ймовірність
Поняття «ймовірність» регулярно зустрічається в повсякденному житті. Все, напевно (ймовірно!), Чули «ймовірність дощу невелика». А може, кидали кубики, сподіваючись на 6-6, і розуміли, що на це не варто розраховувати. Або тягнули квиток на іспиті, знаючи досить тим, щоб, швидше за все. витягнути вдалий. Строго кажучи, поняття математичної ймовірності далеко не завжди можна застосувати до побутових ситуацій. Але якщо взяти теорію як основу для практичної моделі, то, зробивши деякі припущення, можна сміливо користуватися її результатами. Неспроста більшість завдань по теорії ймовірностей в ЄДІ виглядає як «випадки з життя». Спробуємо розібратися з тим, як це працює.
Що таке випробування і результат
Випробуванням в теорії ймовірностей називають якийсь експеримент (не обов'язково науковий). Наприклад, підкинули монетку - випробування. Витягли лотерейний квиток - випробування. Провели жеребкування спортивного змагання - теж випробування. Взагалі кажучи, експеримент повинен бути повторюваним. Тобто, щоб ми могли говорити про ймовірність, у нас повинна бути можливість провести експеримент не один (а якщо зовсім строго, то скільки завгодно) раз.
Якщо є експеримент, є і можливі результати - то, ніж він може закінчитися. Список можливих результатів можна складати по-різному, але стандартний спосіб - вибрати максимальне дроблення результатів. Наприклад, при киданні кубика можна сказати, що є два результату: і, - але це не дуже зручно, так як другий результат можна роздрібнити на більш дрібні. Складаючи список можливих результатів, ми повинні також пам'ятати, що два результату ніколи не можуть статися одночасно (умова взаємовиключення).
Випробуванням називається експеримент з окресленим набором можливих взаємовиключних результатів. Ці результати називаються наслідками.
На столі лежить колода карт, а ми витягуємо звідти одну карту. Це приклад випадкового випробування. У цього випробування 5 2 52 5 2 виходи, так як ми можемо витягнути будь-яку з 5 Перша 2 52 5 2 карт (в кожній з чотирьох мастей 1 3 13 1 3 карт від двійки до туза).
Кидок звичайного грального кубика є класичним прикладом випробування. Скільки випадків можливе у цього випробування?
Важливо розуміти, що список можливих результатів ми окреслюємо самі (виходячи з «здорового глузду»). Так, при кидку монети ми вважаємо «можливим», що вона впаде вгору аверсом ( «орлом») або вгору реверсом ( «решкою»), просто не розглядаючи можливості того, що монета встане на ребро, буде проковтну пролітає птахом і т.п . У той же час ми вважаємо несуттєвим, впаде монета на стіл або на підлогу, з дзвоном або безшумно і ін .; ми обмежили себе двома важливими нас наслідками.
Розглянемо трохи складніший приклад: ми одночасно підкинули монету і кинули гральний кубик. Скільки (і яких) результатів у цього випробування?
Для відповіді на це питання спробуємо скласти список результатів. Для монети: Шахтарськ (О) і Решка (Р). Для кубика: 1, 2, 3, 4, 5, 6. А тепер подивимося, що може бути з кубиком, якщо монета випала на Орла? Але ж кубику в деякому сенсі «все одно», як випала монета (в теорії ймовірностей це називається «незалежні події», але про це пізніше). Тобто для нього як і раніше можливі всі 6 варіантів. Те ж саме і якщо вона випала на Решко. Значить, можна перерахувати всі можливі результати поспіль, у вигляді «результат монети» - «результат кубика». Зробимо це:
Уявімо наступне випробування: два гральних кубика кидають одночасно. Скільки випадків буде в цьому випадку?
Що таке випадкова подія
Випадкова подія - це підмножина безлічі результатів випробування.
Але що ж означає цей набір математичних термінів? Насправді, це просто щось, що може статися в результаті випробування. Наприклад, "монета випала на орла" - це випадкова подія, що збігається з одним з результатів. А "на кубику випало парне число" - випадкова подія, що складається з трьох випадків (2 + 2 2. 4 4 4 і 6 6 6).
Будь-яке випадкове подія може складатися з одного або декількох результатів випробування (тоді ця подія можливо) або не містити жодного результату (неможлива подія). Наприклад, "випало більше 7 7 7" - неможлива подія для випробування "кидання кубика". Окремо визначають достовірна подія. тобто таке, яке включає в себе всі наслідки цього випробування.
З скількох результатів полягає випадкова подія "випав дубль" (тобто однакові числа на кубиках) при випробуванні "кидання двох кубиків одночасно"?
Спробуйте відповісти на питання складніше:
З скількох результатів полягає випадкова подія "сума очок на двох кубиках менше 4"? Випробування той же - два кубика кидають одночасно.
Як вважати ймовірність події
Саме поняття ймовірність здається інтуїтивно зрозумілим: наприклад, якщо йде сніг, то набагато швидше, що на вулиці зима, ніж літо. Але як висловити цю ймовірність числом? І за якою шкалою її міряти? Нерідко кажуть "ймовірність цього 5 0% 50 \% 5 0%" - але що це означає? І що буде означати "стовідсоткова" або "нульова" ймовірність. Щоб відповісти на це питання, ми дамо класичне визначення ймовірності, яке буде застосовано в усіх шкільних завданнях. Для цього нам знадобиться допоміжне визначення.
Результати, що входять в подію, називаються сприятливими для цієї події.
Перш ніж перейти до класичного визначення ймовірності, зауважимо, що для його застосування слід дотримуватися певного умови - рівно можливих всіх результатів. Ця умова може бути недостатньо строго визначено, але інтуїтивно воно зрозуміло. Наприклад, якщо в якості результатів при киданні монети вибрати «орел», «решка» і «ребро», то класичне визначення ймовірності застосовувати не можна, так як шанси на останній результат менше, ніж на перші два. А якщо вибрати тільки «орел» і «решка», то можна - адже немає ніяких підстав вважати один результат більш частим, ніж інший.
Отже, нехай у нас є випробування з певним набором рівно можливих випадків. Ймовірністю деякого випадкового події називається відношення кількості сприятливих результатів до загальної кількості результатів випробування.
P <С о б ы т и е A> = Ч і з л про і з х о д о в. б л а г о п р и я т н и х д л я A Про б щ е е ч і з л про і з х о д о в P \ A \> = \ frac A >> P <С о б ы т и е A> = О б щ е е ч і з л про і з х о д о в Ч і з л про і з х о д о в. б л а г о п р и я т н и х д л я A
З класичного визначення видно, що ймовірність - числова величина, що приймає значення від 0 0 0 до 1 1 1. Імовірність ніколи не буває негативною і ніколи не буває більше 1 1 1. На практиці ймовірність іноді виражають у відсотках, в цьому випадку 1 0 0 % 100 \% 1 0 0% відповідають ймовірності 1 1 1.
Звичайно, «в житті» в основному зустрічаються ситуації, коли одні результати зустрічаються частіше інших, і тоді потрібно використовувати скориговане визначення ймовірності. Але в шкільних завданнях результати завжди однаково очікувані, так що для знаходження ймовірності потрібно тільки правильно порахувати кількість результатів, що входять в подію, і загальна кількість результатів випробування, після чого поділити одне на інше.
Розглянемо приклад. З стандартної колоди карт (від двійки до туза) навмання витягли одну карту. Яка ймовірність, що ця карта - з цифрою?
Для початку потрібно визначити набір рівно можливих випадків. В даному випадку природно буде взяти його збігається з набором карт. Тоді всього результатів буде 5 2. 52, 5 2. і ніяких підстав вважати будь-які більш ймовірними, ніж інші, у нас немає. Залишилося дізнатися число сприятливих результатів, тобто карт з цифрами. Всього таких карт в кожній масті дев'ять: 2 2 2. 3 3 3. 4 4 4. 5 5 5. 6 6 6. 7 7 7. 8 8 8. 9 9 9 і 1 0 10 1 0. мастей в свою чергу чотири, значить все карт з цифрами 3 6 36 3 6. Отже, шукана ймовірність дорівнює 3 6 5 2 = 9 1 3 \ frac = \ frac 5 2 3 6 = 1 3 9.
Відзначимо, що ймовірність неможливого події буде дорівнює нулю, оскільки чисельник дробу (число сприятливих результатів) буде дорівнює 0 0 0.
Чому дорівнює ймовірність достовірної події?