Ортогональний базис евклідового простору
Визначення .Вектори a, bÎЕ називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Поняття ортогональности можна вважати узагальненням поняття перпендикулярності.
1. Якщо розглянути вектора a, bÎЕ3, то поняття ортогональності збігається з поняттям перпендикулярності.
2. Нульовий вектор ортогональний будь-якому вектору з простору Е, тобто для будь-якого вектора аÎЕÞ(А, q) = 0.
Визначення. Система векторів а1, а2, ..., аn евклідового простору називається ортогональної системою, якщо вектори цієї системи попарно ортогональні, тобто
2. Ортогональна система ненульових векторів простору Е є лінійно незалежною системою.
Следствіе.Ортогональная система n- ненульових векторів є базисом в евклідовому просторі En.
Визначення. Базис евклідового простору ЕN, який є ортогональною системою векторів називається ортогональним базисом.
Теорема. Будь-яке n-мірне Евклідовому простір має прямокутний базис.
Доказ (процес ортогоналізації).
Побудували систему векторів, що є ортогональним базисом. # 143;
Определеніе1. Вектор а з ЕN, довжина якого дорівнює одиниці називається нормованим.
З визначення нормованого вектора випливає, що якщо ми маємо будь-який ненульовий вектор а¹q, то вектор а1 = такженормірованний (|| а1 || = = = = = 1
Определеніе2 .Переход від вектора а до вектора а1 (довжина якого дорівнює одиниці) називається нормуванням вектора а.
Определеніе3 .Базіс е1, е2, ..., еn простору Еn називають ортонормованим, якщо він ортогональний і все його вектора нормовані, тобто має місце наступне:
Теорема. У кожному евклідовому просторі Еn існують ортонормированном базисі.
Доказ: Відомо, що в просторі Еn існують ортогональні базіси.Пусть b1, b2, ..., bn - ортогональний базис в просторі Еn. Розділимо кожний з векторів на його довжину і отримаємо систему векторів:.
Отримана система векторів є ортонормованим базисом пространстваЕn, так як?.
Теорема. Базис е1, е2, ..., еn простору Еn ортонормированном тоді, коли скалярне твір будь-яких двох векторів простору Еn дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів а і b в цьому базисі.
Теорема. Якщо е1, е2. ..., еn - ортонормованій базис простору ЕN, то i-а координата розкладання будь-якого вектора а з цього базису з даного простору равнаскалярному твору вектора а на вектор еi, тобто дорівнює (а, еi).