описова статистика
теоретичний курс
описова статистика
Оцінювання характеристик випадкових величин
Оцінювання характеристик випадкових величин
Оцінкою характеристики називається функція вибіркових значень х i. виду = (х 1. х 2. х 3. ..., х i. ..., x n). Знак "З" називається "кришечкою" і позначає оцінку. Оцінки можна розділити на параметричні. засновані на знанні ймовірнісної моделі розподілу, і непараметричні. коли модель, що описує емпіричні дані, невідома або в її використанні немає необхідності.
Оцінки характеристик мають ряд властивостей: незміщеної (величиною зміщення), ефективністю. спроможністю і ін.
Оцінка - функція статистична і, отже, теж випадкова. Всі оцінки випадкових величин можна розділити на оцінки функційних і числових характеристик.
Запам'ятайте! Всі характеристики, отримані за вибіркою з генеральної сукупності, називаються емпіричними, вибірковими характеристиками або оцінками характеристик.
Оцінювання функційних характеристик.
Оцінювання функції розподілу і щільності ймовірностей
• сформуємо варіаційний ряд: х (1) ≤ х (2) ≤ ... ≤ х (i) ≤ ... ≤ х (n); • виділимо мінімальний х min = х (1) і максимальний х max = х (n) елементи варіаційного ряду;
• для кожного значення випадкової величини знайдемо таке n х. яка дорівнює кількості елементів вибірки, значення яких менше або дорівнюють заданому х. Тоді відношення називається емпіричною функцією розподілу (оцінкою функції розподілу).
Функція розподілу, отримана по генеральної сукупності, називається істинної, або теоретичної, функцією розподілу і позначається F (x).
Властивості емпіричної функції розподілу:
- 0 ≤ ≤ 1, (лежить в інтервалі від 0 до 1);
- - неубутна функція;
- - неперервна справа;
- - кусочно-постійна і змінюється тільки в точках варіаційного ряду. У загальному випадку можна представити у вигляді
0, при х £ х (1).
, при х (1)
Графік накопичених частот випадкової величини Х Ламана, що з'єднує точки (х j. N j),. називається полігоном частот. Ламана, що з'єднує точки (х j. H j), називається полігоном відносних частот. Тут х j - середини інтервалів розбиття, а відношення називається відносною частотою попадання в інтервал.
Полігон частот випадкової величини Х Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, підставами яких служать інтервали довжиною h, а висотами (щільність частоти).
Гістограма частот випадкової величини X Площа j-го прямокутника гістограми дорівнює,, а площа всієї гістограми S = = n. Функцією відносних частот (щільністю відносної частоти), або гистограммой оцінки щільності ймовірностей. називають фігуру, що складається з прямокутників з підставами h і висотами
Оцінка щільності розподілу ймовірностей Площа j-го прямокутника дорівнює, а площа гістограми = 1. В асимптотичному межі, оцінка щільності ймовірності дорівнює істинного значення щільності ймовірностей.
Щільність ймовірностей і функція розподілу є функціонує характеристиками і дають вичерпні відомості про цікавить нас законі розподілу випадкової величини.