Нормальне або гауссовское розподіл, безкоштовні курсові, реферати, дипломні роботи
де x - випадкове значення величини X. Параметр x0 визначає центр розподілу, а sx - форму і ширину кривої щільності розподілу (рис. 2.3). Множник перед експонентою, що визначає висоту гауссовской кривої, обраний таким чином, щоб була виконана умова нормування (2.4).
Оскільки Гаусове розподіл симетрично щодо x0. згідно (2.8) ймовірність того, що випадкове значення x величини X. розподіленої за нормальним законом, потрапить в заданий інтервал (x1. x2), буде визначатися виразом
Вводячи позначення. звану стандартизованої змінної. (2.10) можна записати у вигляді
де tP - коефіцієнти, що визначають ширину інтервалу в одиницях параметра нормального розподілу sx. . Ймовірності P попадання u в інтервал (-tP. TP) можна знайти, обчисливши інтеграл (2.11) чисельно для різних значень ширини інтервалу tP. І назад, кожної заздалегідь заданій ймовірності P буде відповідати своє конкретне значення коефіцієнта tP. залежне від вибору довірчої ймовірності P. Якщо значення коефіцієнтів tP знайдені, то від змінної u можна повернутися до змінної x. Тоді з нерівності отримаємо з ймовірністю P.
Можна показати (див. 2.6), що якщо значення x величини X розподілені по нормальному закону, то і розраховуються за ним середні значення також розподілені по нормальному закону з центром в точці x0 і шириною розподілу. де N - обсяг вибірок, за якими розраховуються. Розподіл середніх буде описуватися формулою (2.9), в якій x замінено на. а на.
Якщо середні значення розподілені по нормальному закону, то задача знаходження довірчого інтервалу зводиться до знаходження довірчого інтервалу (-tP. TP) для стандартизованої змінної і переходу до довірчого інтервалу змінної. В результаті отримаємо, що межі інтервалу, в який випадкове значення потрапляє з ймовірністю P. визначаються нерівністю. Звідки для кордонів довірчого інтервалу x0 одержуємо. де tP - коефіцієнти, відповідні заданій ймовірності Р. Це нерівність прийнято записувати у вигляді символічного рівності
з ймовірністю P. (2.12)
де - випадкова довірча похибка результату вимірювання.
2.6. Вибіркові дисперсія і середньоквадратичне
відхилення
У реальному експерименті має місце вибірка кінцевого обсягу, а не генеральна сукупність, що підкоряється нормальному закону. Тому щоб скористатися формулою (2.12) для визначення випадкової довірчої похибки результату вимірювання, необхідно знайти оцінку параметра і нові коефіцієнти tP, N (які в цьому випадку будуть залежати від кількості вимірювань N), відповідні вибірці кінцевого обсягу.
Таким найкращим наближенням, або оцінкою стандартного відхилення. згідно (2.3) є величина
звана вибірковим середньоквадратичним відхиленням (СКВ x) результату спостереження від середнього. Квадрат СКО називають вибіркової дисперсією результату спостереження.
Для знаходження оцінки параметра розглянемо випадкову величину Z. представляє собою суму випадкових величин X і У. Тоді середнє значення Z має вигляд
а вибіркова дисперсія
може бути представлена у вигляді
Якщо X і Y незалежні один від одного, то їх відхилення від середніх значень і також незалежні. З огляду на, що середнє значення добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку середніх значень сомножителей, отримаємо, що остання сума дорівнює нулю, і Sz 2 = Sx 2 + Sy 2. т. Е. Дисперсії незалежних випадкових величин складаються лінійно, а вибіркові середньоквадратичні відхилення складаються квадратично .
Якщо Z = аХ + bY. то, повторивши міркування, отримаємо
У разі суми понад два випадкових величин
Для знаходження похибки результату вимірювання представляє інтерес не СКО результату окремого спостереження. а СКО середовищ-нього значення. Взаємозв'язок між параметрами і можна знайти, якщо врахувати, що середнє значення є сума N незави-сімих випадкових величин, дисперсії яких однакові
Тоді, ис-пользуя формулу (2.14), в якій аi = 1 / N. з урахуванням отримаємо для дисперсії параметра:
Звідси випливає, що СКО
Параметр. званий вибірковим середньоквадратичним відхиленням середнього (СКО), є найкращим наближенням до параметру.
Якщо СКО знайдено згідно (2.15), то, як було вперше передбачено англійським математиком В. С. Госсетом, який писав свої роботи під псевдонімом Стьюдент, і згодом доведено Р. А. Фішером, нова стандартизована змінна має функцію щільності розподілу ймовірності. що залежить від обсягу вибірки N. Імовірність того, що величина u потрапить в заданий інтервал (), буде
звідки випадкову довірчу похибка результату вимірювання необхідно розраховувати за формулою
. з ймовірністю P,
де - коефіцієнти Стьюдента, що залежать від довірчої ймовірності P і обсягу вибірки N. по якій розраховуються і. При великих значеннях (на практиці при N ≥ 20) параметри і. розраховуються за вибіркою кінцевого обсягу, переходять в параметри і нормального розподілу, а коефіцієнти Стьюдента tP, N - в коефіцієнти tP для нормального закону.
Для перевірочної оцінки випадкової довірчої похибки ре-результату вимірювання її розрахунок можна також проводити за формулою Dx = bP, N R. де R = xmax - xmin - розмах вибірки.
Значення коефіцієнтів tP, N і bP, N для даних значень дове-рительное ймовірності (за домовленістю в техніці беруть значення Р = 95%) і числа N спостережень в вибірці наведені в додатку. У математичних довідниках, як правило, коефіцієнти Стьюдента призводять в таблицях у вигляді. де # 957; = N - 1 називається числом ступенів свободи вибірки обсягу N.
Необхідно відзначити, що при розрахунках довірчої похибкою-ності за Стьюдентом результати спостережень повинні належати генеральної сукупності, розподіленої за нормальним законом, що може бути перевірено за допомогою спеціальних статистичних критеріїв. Для здійсненності цієї процедури вибірка повинна бути досить представницької (від 50 спостережень і більше). Вибірки малих обсягів (N <<15), которые имеют место в работах лабо-раторного физического практикума, на принадлеж-ность нормальному распределению не проверяют.
Результат вимірювання. Довірчий інтервал