Невласний інтеграл 1-го роду
Визначення Припустимо, що функція задана на нескінченному проміжку виду і інтегрована на будь-якому кінцевому відрізку. де. Таким чином, ми можемо розглянути функцію
· Якщо ця функція має межу то число називається значенням невласного інтеграла першого роду
а сам інтеграл називається збіжним (іншими словами, інтеграл сходиться).
· Якщо поряд з власним інтегралом по нескінченному проміжку сходиться і інтеграл по цьому ж проміжку, то перший інтеграл називається Абсолютно сходящимся.
Якщо інтеграл Сходиться, а інтеграл розходиться, то перший інтеграл називається Умовно сходящимся.
2. Відповідність інтегралів в разі позитивних функцій
Якщо функція позитивна (неотрицательна), то інтеграл
є монотонно зростаючу функцію від змінної А.
Для збіжності невласного інтеграла - в разі позитивної функції - необхідно і достатньо, щоб інтеграл при зростанні А залишався обмеженим зверху.
3. Збіжність інтеграла в загальному випадку. Ознака Абеля. Ознака збіжності Діріхле.
Теорема 1 (ознака Діріхле) .Якщо на полуосіx> a.
1) функція f неперервна і має обмежену первісну;
2) функція g неперервно диференційовна і убуває. прагнучи до нуля пріx +. т. е.
g (x) = 0; то інтеграл
Теорема 2 (ознака Абеля) .Якщо на полуосіx> a.
1) функція f неперервна і інтеграл
сходиться;
2) функція g неперервно диференційовна. обмежена і монотонна; то інтеграл
4. Невласні інтеграли 2-го роду. Розриви підінтегральної функції.
Нехай функція f (x) визначена на полуінтервале (a. B], інтегрована з будь-якого відрізку. І має нескінченну границю при. Невласні інтеграли від f (x) на відрізку [a. B] називається межа. Якщо ця межа кінцевий, кажуть, що інтеграл сходиться, якщо межа не існує або нескінченний, кажуть, що інтеграл розходиться.
Визначення: Нехай функція f (x) має розрив в точці х = b. а інших точках цього проміжку (а; b) вона неперервна. Якщо існує кінцевий межа. то його називають невласних інтегралом другого роду і позначають
Аналогічно визначається невласний інтеграл, коли функція f (x) має розрив в точці х = а:
Визначення: Нехай функція f (x) має розрив в точці х = а. а інших точках цього проміжку (а; b) вона неперервна. Якщо існує кінцевий межа. то його називають невласних інтегралом другого роду і позначають
Визначення 7: Нехай функція f (x) має розрив у внутрішній точці з проміжку (а; b), а інших точках цього проміжку він
5 Умови і ознаки існування інтеграла
· Ознака порівняння в граничній формі. Нехай невід'ємні функції f (x) і g (x) інтегровними з будь-якого відрізку [a. b] і нехай існує кінцевий. Тоді невласні інтеграли і сходяться або розходяться одночасно.
· Ознака порівняння. Нехай функції f (x) і g (x) інтегровними з будь-якого відрізку [a, b] і при задовольняють нерівності. тоді:
якщо сходиться інтеграл. то сходиться інтеграл;
якщо розходиться інтеграл. то розходиться інтеграл
6. Головний значення невласного інтеграла
Нехай інтеграл має єдину особливість у внутрішній точці проміжку [a, b]. складемо суму
У таких випадках кажуть, що інтеграл сходиться в сенсі головного значення.
7 Властивості невласних інтегралів
Властивості невласних інтегралів другого роду, по суті справи, повторюють властивості невласних інтегралів першого роду: змінюється лише база межі, що задає невласний інтеграл, з для інтеграла
на для інтеграла від функції з особливістю в точці:
1.Пусть фіксовані чіслаі функціяінтегріруема на будь-якому відрізку, де, і має особливість в точці. Тоді якщо невласний інтегралсходітся, то при любомсходітся інтеграл. Назад, якщо при некоторомсходітся інтеграл, то сходиться і інтеграл.
2. (теоpемасpавненія) Нехай дано дві функциии, задані най мають особливість в точці, причому при всехвиполняется нерівність
Тоді з збіжності інтеграла від більшої функції слід збіжність інтеграла від меншої функції, причому
а з розбіжність інтеграла від меншої функції, слід расходимость інтеграла від більшої функції:
.3 Якщо інтегралсходітся, то сходиться також інтеграл
причому має місце нерівність
· Якщо невласний інтеграл сходиться, то невласний інтеграл називається абсолютно збіжним.
· Якщо невласний інтеграл розходиться, а невласний інтеграл сходиться, а невласний інтеграл називається умовно збіжним.
8. Інтегрування по частинах.
Нехай u = u (x) і v = v (x) - функції, що мають безперервні похідні. Тоді d (uv) = u * dv + v * duІнтегрірую це рівність отримаємо формулу інтегрування частинами, вона дає можливість звести обчислення інтеграла до обчислення інтеграла. який може виявитися істотно більш простим, ніж вихідний.
Інтегрування по частинах полягає в тому, що підінтегральний вираз заданого інтеграла представляється якимось чином у вигляді добутку двох співмножників u і dv (це, як правило, можна здійснити декількома); потім, після знаходження v і du, використовується формула інтегрування частинами. Іноді цю формулу доводиться використовувати кілька разів.
9. Заміна змінних в невласних інтегралів.
1. Обчислення площ. Площа, обмежена однієї кривої. Площа, яка знаходиться між двома кривими. Площа сектора, обмеженого кривою, заданої в полярній системі координат.