Навчально-дослідна робота на тему «зірчасті багатогранники», соціальна мережа працівників
Мета: дослідити зірчасті багатогранники і їх форми.
- простежити історію багатогранників;
- розширити знання про зірчастих многогранниках;
- вивчити форми зірчастих багатогранників;
- виконати модель зірчастого багатогранника.
На початку минулого століття великий французький архітектор Корбюзьє якось вигукнув: «Все навколо геометрія!». Сьогодні вже на початку 21-го століття ми можемо повторити цей вигук з ще більшим здивуванням. Справді, подивіться навколо - скрізь геометрія!
Правильних багатогранників зухвало мало, але цей досить скромний за чисельністю загін зумів пробратися в самі глибини різних наук.
Зірчастий багатогранник - чудове красиве геометричне тіло, споглядання якого дає естетичну насолоду.
Стародавні люди бачили красу на стінах печер в орнаментах з трикутників, ромбів, кіл. Правильні багатокутники з глибокої давнини вважалися символом краси і досконалості.
Зірчастої формою многогранника називається багатогранник, отриманий шляхом продовження граней даного багатогранника через ребра до їх наступного перетину з іншими гранями за новими ребрах.
Правильні зірчасті багатогранники - це зірчасті багатогранники, гранями яких є однакові (неконгруентні) правильні або зірчасті багатокутники. На відміну від п'яти класичних правильних багатогранників (платонових тел), дані багатогранники не є опуклими тілами.
У 1811 році Огюстен Лу Коші встановив, що існують всього 4 правильних зірчастих тіла (вони називаються тілами Кеплера - Пуансо), які не є сполуками платонових і зірчастих тіл. До них відносяться відкриті у 1619 році Іоганном Кеплером малий зірчастий додекаедр і великий зірчастий додекаедр, а також великий додекаедр і великий ікосаедр, відкриті в 1809 році Луї Пуансо. Решта правильні зірчасті багатогранники є або з'єднаннями платонових тел, або сполуками тел Кеплера - Пуансо.
Напівправильні зірчасті багатогранники - це зірчасті багатогранники, гранями яких є правильні або зірчасті багатокутники, але не обов'язково однакові. При цьому будова всіх вершин має бути однаковим (умова однорідності). Г. Коксетер, М. Лонге-Хіггінс і Дж. Міллер в 1954 році перерахували 53 таких тіла і висунули гіпотезу про повноту свого списку. Тільки значно пізніше в 1969 році Сопів С. П. вдалося довести, що представлений ними список багатогранників дійсно повний.
Багато форми зірчастих багатогранників підказує сама природа. Наприклад, сніжинки - це плоскі проекції зірчастих багатогранників. Деякі молекули мають правильні структури об'ємних фігур.
Однорідні багатогранники - правильні і напівправильні опуклі багатогранники (Платонова і архимедови тіла); правильні і напівправильні зірчасті багатогранники разом називаються однорідними многогранниками. У цих тіл всі грані є правильними багатокутниками (опуклими або зірчастими), а всі вершини однакові (тобто існують ортогональні перетворення багатогранника в себе, що переводять будь-яку вершину в будь-яку іншу). Існує рівно 75 однорідних багатогранників.
Існує тільки одна Зірчаста форма октаедра. Зірчастий октаедр був відкритий Леонардо да Вінчі, потім через майже 100 років перевідкритий І. Кеплером і названий ним Stella octangula - зірка восьмикутна. Звідси ця форма має і другу назву: «stella octangula Кеплера»; по суті вона є з'єднанням двох тетраедрів.
Зірчасті форми Додекаедр:
Додекаедр має 3 зірчасті форми: малий зірчастий додекаедр, великий додекаедр, великий зірчастий додекаедр (зірчастий великий додекаедр, завершальна форма). На відміну від октаедра, будь-яка з зірчастих форм Додекаедр не є з'єднанням платонових тел, а утворює новий багатогранник.
У великого Додекаедр гранями є п'ятикутник, які сходяться по п'ять у кожній з вершин. У малого зірчастого і великого зірчастого додекаедрів межі - п'ятикутні зірки (пентаграми), які в першому випадку сходяться по 5, а в другому за 3 грані в одній вершині.
Вершини великого зірчастого Додекаедр збігаються з вершинами описаного Додекаедр.
Зірчасті форми ікосаедра.
Ікосаедр має 59 зірчастих форм, з яких 32 мають повну, а 27 - неповної ікосаедральной симетрією, що було доведено Коксетер спільно з Дювалем, Флезером і Петрі c застосуванням правил обмеження, встановлених Дж. Міллером. Одна з цих зірчастих форм (20-я, модель 41 по Веннінджеру), звана великим ікосаедра, є одним з чотирьох правильних зірчастих багатогранників Кеплера - Пуансо. Його гранями є правильні трикутники, які сходяться в кожній вершині по п'ять; це властивість є у великого ікосаедра спільним з ікосаедра.
Серед зірчастих форм також є: з'єднання п'яти октаедрів, з'єднання п'яти тетраедрів, з'єднання десяти тетраедрів. Перша Зірчаста форма - малий тріамбіческій ікосаедр.
Якщо кожну з граней продовжити необмежено, то тіло буде оточено великим різноманіттям відсіків - частин простору, обмежених площинами граней. Все зірчасті форми ікосаедра можна отримати додаванням до вихідного тілу таких відсіків. Крім самого ікосаедра, продовження його граней відокремлюють від простору 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 відсіку десяти різних форм і розмірів. Великий ікосаедр складається з усіх цих шматків, за винятком останніх шістдесяти. Наступна Зірчаста форма - завершальна.
Зірчасті форми кубооктаедра.
Кубооктаедр має 4 зірчасті форми, що задовольняють обмеженням, введеним Міллером. Перша з них є з'єднанням куба і октаедра.
Зірчасті форми ікосододекаедр.
Ікосододекаедр має безліч зірчастих форм, перша з яких є з'єднання ікосаедра і Додекаедр.
Ікосододекаедр має 32 грані, з яких 12 є правильними п'ятикутними гранями, а решта 20 - правильними трикутниками.
Модель зірчастого багатогранника.
Світ наш сповнений симетрії. З найдавніших часів з нею пов'язані наші уявлення про красу. Напевно, цим пояснюється неминущий інтерес людини до дивних символів симетрії, що вабили увагу безлічі видатних мислителів, від Платона і Евкліда до Ейлера і Коші.
Зірчасті багатогранники дуже декоративні, що дозволяє широко застосовувати їх в ювелірній промисловості при виготовленні всіляких прикрас. Застосовуються вони і в архітектурі. Багато форми зірчастих багатогранників підказує сама природа, наприклад сніжинки - це теж зірчасті багатогранники. Багатогранники класифікуються за кількістю їх граней. Найпростішим зірчастим многогранником є октаедр, додекаедр, ікосаедр, а далі йдуть кубооктаедр і ікосододекаедр.
Існують 4 багатогранника Кеплера-Пуансо.
Їх вивченням займалися різні математики в різні часи. Їх завжди приваблювала краса форм багатогранників.
Через свою декоративності зірчасті багатогранники широко застосовуються в ювелірній промисловості при виготовленні всіляких прикрас, а також зустрічаються в творі мистецтва.
У цій роботі я досліджувала зірчасті багатогранники і їх різні форми, а також простежила їх історію і зробила модель зірчастого багатогранника.