Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне
Найбільший спільний дільник двох, трьох і більше чисел
Будь-яке натуральне число можна поділити на 1 і на саме себе. Числа, які діляться тільки на 1 і на себе, називаються простими. Найменшим простим числом вважається 2. Двійка - єдине парне число серед нескінченної кількості простих чисел, всі інші прості числа - непарні. Багато натуральні числа можуть ділитися без залишку і на інші натуральні числа. Візьмемо число 16: крім 1 і 16 воно ділиться на 2,4,8. Натуральні числа, у яких більше двох дільників, вважаються складовими. Дільником натурального числа а є таке число Д, на яке число а ділиться повністю без залишку. Подільники чисел позначають буквою Д.
У багатьох натуральних чисел є загальні дільники, тобто числа, на які обидва числа діляться повністю. Найбільшим спільним дільником 2-х чисел є найбільше число, на яке ці числа будуть ділиться без остачі. Найбільший спільний дільник 2-х чисел a, b можна записати як НСД (a, b). У тому випадку, якщо НОД 2-х і більше чисел дорівнює 1, їх вважають взаємно простими.
Для визначення НОД 2-х (і більше) чисел слід:
- розкласти подільники двох чисел на прості множники;
- виділити однакові прості множники в кожному з чисел;
- обчислюємо твір цих множників, що і є НСД двох чисел.
Є два способи запису знаходження НСД: в стовпчик і в рядок.
Наприклад, розкладемо подільники 14 і 16 на прості множники:
дільник 14 розкладається на 1, 2, 7,14
дільник 16 розкладемо на 1, 2, 4, 8,16
Д (14; 16) дорівнює, тоді НСД (14; 16) = 2.
Визначити НСД двох чисел можливо, застосувавши алгоритм Евкліда.
Для цього записуємо задані нам числа в зменшується послідовності, тобто попереду записуємо максимальне число, за ним - мінімальне. Потім записуємо залишок, отриманий від ділення першого числа на друге. Наступним кроком буде ділення заданого меншого числа на отриманий залишок. Якщо знову отримали залишок, то перший залишок ділимо на другий. Розподіл триває, поки останній член послідовності нічого очікувати дорівнює 0. Останнє число в цій послідовності, що стоїть перед 0, і є НСД двох чисел. В даному випадку застосовується рекурентное формула для НОД:
в даному виразі a mod b - залишок від ділення двох чисел a на b.
Найменше спільне кратне двох, трьох і більше чисел
Для здійснення операцій з дробами, що мають різні знаменники, їх потрібно приводити до спільного знаменника, для чого потрібно визначити найменше спільне кратне, яке позначається як НОК. Кратним числа а вважається число, яке ділиться на задане число повністю, без залишку. Наприклад, числами, кратними 5, будуть 10, 15, 20. Чисел, кратних числу а (в нашому випадку - 5) нескінченно багато, в той же час дільників числа а - кінцеве кількість. У нашому випадку подільники: 5, 1. Загальним кратним 2-х і більше натуральних чисел буде число, яке розділиться на обидва числа повністю, без залишку. НОК для цих чисел є найменше число, яке поділиться саме без залишку на кожне із заданих чисел.
Є кілька способів знаходження НОК.
1-й спосіб:
- розкладаємо задані числа на прості множники;
- виписуємо в рядок всі прості множники з розкладання одного найбільшого числа;
- дописуємо в цей розклад інші множники з розкладання 2-го числа, що не увійшли до розкладання першого числа;
- перемноживши виписані множники ми отримаємо найменше число, яке поділиться без залишку на задані числа. Це буде НОК наших чисел.
2-й спосіб застосовується для невеликих чисел:
- спочатку виписуємо в рядок поотдельности кратні числа для кожного заданого числа;
- вибираємо серед них найменше спільне кратне для обох чисел. Буквою К позначається кратне числа.
Слід запам'ятати, що НОК взаємно простих чисел, у яких відсутні загальні прості подільники, дорівнює добутку цих чисел.
Якщо одне число ділиться повністю без залишку на інші, НОК цих чисел дорівнює цьому числу.
Щоб швидко і правильно розрахувати НОК і НОД 2-х і більше чисел скористайтеся онлайн калькулятором.