Мікро- та макросостоянія

Перш ніж перейти до розгляду розподілу Гіббса, введемо два найважливіших поняття статистичної фізики: макро- і мікростану і статистичний вага макроскопічної системи.

Як уже зазначалося, в термодинаміці стан макроскопічної системи визначається невеликим числом параметрів, таких, наприклад, як температура, тиск, об'єм і ін. Ці параметри називають макроскопічними параметрами, так як вони визначають стан всієї системи в цілому, а не окремої її молекули і можуть бути виміряні макропрібора. Стан, певне за допомогою зазначених параметрів, називається макросостояніем (або термодинамічним станом).

З іншого боку, будь-яка термодинамічна система являє собою сукупність великого числа частинок (атомів, молекул, іонів і т.д.). Тому стан термодинамічної системи (наприклад, газу) в принципі може бути визначено за допомогою станів кожної з її частинок, тобто їх положення і імпульсу. Стан кожної частинки як окремої матеріальної точки, визначається шістьма параметрами: трьома координатами і трьома проекціями імпульсу. Причому ці два стани вважаються помітними, якщо різниці їх координат і відповідних проекцій імпульсу будуть не менше тих, які визначаються співвідношеннями невизначеностей. Отже, для визначення стану системи складається з N частинок, потрібно знати 6N параметрів їх механічного руху. У квантовому випадку стан окремої частки визначається завданням квантових чисел # 945 ;. що визначають енергію та інші динамічні характеристики частинки. Ці числа виходять з рішення відповідного рівняння Шредінгера. Стан системи, певне завданням стану всіх утворюють систему частинок, називається її микростанів. Оскільки будь-яка частка є квантовим об'єктом, то квантовим об'єктом є і вся термодинамічна система. Тому її Мікростан має описуватися за допомогою квантової механіки. Для цього необхідно визначити рівні енергії кратність їх виродження і набір квантових чисел

Коли термодинамічна система знаходиться в рівновазі і її макроскопічні параметри фіксовані, з мікроскопічної точки зору її стан не визначено. Будь-яке макросостояніе може бути здійснено різними способами, кожному з яких відповідає певний Мікростан системи. Можливо дуже велике число різних микросостояний, доступних системі при заданих її макроскопічних параметрах. Число микросостояний, які відповідають цій макросостояніе, називається статистичною вагою макросостояніе і позначається W. При зміні макросостоянія (при зміні її термодинамічних параметрів) змінюється і його статистичний вага. Тому статистичний вага макросостоянія залежить від параметрів стану, тобто є функцією стану системи.

Статистичний вага має властивість мультипликативности. Нехай W1 і W2 - статистичні ваги двох слабо взаємодіючих систем. Тоді статистичний вага об'єднаної системи буде дорівнює Це випливає з того, що для кожного можливого стану першої системи існує W2 станів другої, так що число станів об'єднаної системи буде Таких доданків буде W1. отже,

При визначенні статистичного ваги довільної системи надходять так само, як при визначенні числа станів однієї частки в квазікласичному наближенні. Вводять f -мірним фазовий простір системи, де f - число ступенів свободи системи (в разі ідеального одноатомного газу f = 6N). На кожне стан системи в такому просторі приймається фазова осередок об'ємом Тоді якщо обсяг фазового простору, відповідний енергії системи, що не перевищує деякого значення E. дорівнює то число микросостояний з вказаною енергією знайдеться як а число микросостояний з енергією від E до E + dE - як де - обсяг фазового простору, відповідний вказаною інтервалу енергій.

Будь-яке Мікростан термодинамічної системи реалізується не з повною достовірністю, а має певну ймовірність його реалізації. Очевидно, чим більше число способів здійснення того чи іншого макросостоянія, тим воно ймовірніше. Таким числом способів є число микросостояний, тобто статистичний вага W макросостоянія. Отже, ймовірність реалізації макросостоянія системи пропорційна числу микросостояний з ним спільних: p

W. де W0 - загальне число микросостояний системи. Таким чином, статистичний вага визначає ймовірність термодинамічної стану; з цієї причини його часто називають термодинамічної ймовірністю. Зауважимо, однак, що на відміну від математичної ймовірності, яка не може перевищувати одиниці, термодинамічна ймовірність (статистичний вага) виражається великими числами.

Чим вище статистичний вага стану системи, тим більше воно ймовірно і тим частіше воно реалізується. Звідси випливає, що якщо можливі два стани з різними статистичними вагами і в якийсь момент часу ізольована система виявилася в стані з меншим статистичною вагою, то найбільш імовірним розвитком даної системи є перехід її в майбутньому в стан з великим статистичним вагою. Найбільш імовірним станом ізольованої системи є стан рівноваги. Тому в стані рівноваги ізольована система має максимально можливе для даного стану значення статистичного ваги.

У статистичній фізиці розподіл Больцмана по енергії частки узагальнюється на випадок розподілу по енергії будь макроскопічної системи. У разі дискретного спектра енергії визначають ймовірність того, що система має енергію (знаходиться на i-му енергетичному рівні або, що те ж саме, в одному з микросостояний з енергією). Ця ймовірність має вигляд

де - кратність виродження i -го рівня системи, число микросостояний з даними значенням енергії - статистичний вага системи;

- сума по станах системи, її називають статистичної сумою системи.

У квазікласичному наближенні (в разі безперервного спектра) визначають ймовірність того, що макроскопічна система володіє енергією з інтервалу від E до E + dE. У цьому випадку маємо

де - число микросостояний системи в зазначеному інтервалі енергії,