Математика тригонометричні рівняння і нерівності
Тригонометричні рівняння і нерівності
При вирішенні тригонометричних рівнянь перевірка знайдених рішень необхідна, якщо:
1) в процесі рішення застосовувалися алгебраїчні перетворення, які могли привести до розширення області визначення рівняння (наприклад, скорочення дробів);
2) в процесі рішення застосовувалися тригонометричні перетворення, які могли привести до розширення області визначення рівняння (мова йде про застосування тригонометричних формул, ліва і права частини яких мають різні області визначення, наприклад:
3) в процесі рішення застосовувалося зведення обох частин рівняння в одну і ту ж ступінь.
Кожна із зазначених причин може привести до появи сторонніх коренів. Зауважимо, що застосування формул з п. 2 «справа наліво», навпаки, може призвести до втрати коренів, в силу звуження області визначення.
Рішення тригонометричних рівнянь в більшості випадків проводиться або за допомогою заміни змінної, або розкладання на множники, а й той, і інший спосіб застосовується в різних варіантах в залежності від виду конкретного рівняння. Тому в даному розділі вам пропонується більш детальна класифікація типів тригонометричних рівнянь і методів їх вирішення.
Обидві частини рівняння легко представляються як вираз, залежне тільки від tgx:
Далі, заміною tgx = y. тригонометрическое рівняння раціоналізуется:
Однак можна помітити, що значення також задовольняють вихідному рівнянню. Це втрачені коріння. В чому причина. В основі перетворень формули, що звужують область визначення:.
Перерозподілили компоненти рівняння:
Далі, в лівій частині скористаємося формулою:
Тепер уявімо sin x як синус подвійного аргументу:
Перенесемо всі компоненти рівняння в одну частину і винесемо загальний множник за дужки:
Знову скористаємося формулою різниці синусів:
Останнє рівняння рівносильне сукупності:
Таким чином, рівняння має два сімейства коренів: і, якщо і нескінченно багато коренів: якщо
Розглянемо також приклади розв'язання комбінованих рівнянь, тобто рівнянь, в яких над змінної, в тій чи іншій комбінації виробляються ірраціональні, показово-статечні, логарифмічні і тригонометричні операції. Такого роду завдання викликають у абітурієнтів певні труднощі. В основі цих труднощів, як правило, лежить якась негативна психологічна установка. Абітурієнт як би говорить собі: «Таких рівнянь я в школі не вирішував; щось занадто багато всього накручено; це мені не під силу ». У зв'язку з цим дамо два ради.
Порада перша. За зовнішнім виглядом завдання не можна судити про його простоті чи складності; трудність - це характеристика не завдання, а дієвості Ваших знань і умінь. Починайте вирішувати, пробуйте, намагайтеся, незважаючи на те, що завдання здається вам «страшним» і недоступним.
Порада друга. Вирішуйте комбіноване рівняння як би по діям, відмежовуючи ірраціональну частину рішення від логарифмічною, логарифмічну від тригонометричної і т.п. Здійснити це можна введенням нових змінних. В кінці рішення здійснюйте тим чи іншим чином перевірку коренів.
Нехай тоді. Далі вирішуємо вже не комбіноване, а тригонометрическое рівняння. Скористаємося формулою синуса подвійного аргументу:
«Тригонометрична частина» рішення завершена; далі необхідно вирішити показове рівняння з параметром n:
Перш за все, з'ясуємо, при всіх чи n у даного рівняння існують коріння. Ясно, що, оскільки ліва частина рівняння, як сума ступенів трійки, завжди позитивна, то умова існування коренів рівняння:
Вирішимо це нерівність. Якщо n> 0, то Очевидно, що отримана система несумісна. Якщо n ≥ 0, то
Система рівносильна нерівності n ≥ 0.
Таким чином, з огляду на, що, отримуємо висновок: коріння у даного рівняння існують при значеннях параметра n. n = 0, 1, 2, 3, .... Саме за цієї умови вирішуємо далі показове рівняння.
Перетворимо ліву частину рівняння за властивостями ступеня:
Таким чином, Це «сімейство» логарифмів і становить безліч коренів вихідного комбінованого (показово - тригонометричного) рівняння.
Перш за все, зазначимо область визначення рівняння. Вона задається умовами:
Нехай, тепер. Тоді, замість комбінованого, маємо логарифмічна рівняння з двома змінними а й b. це рівняння перетворюється в рівняння: Далі, якщо покласти, що то маємо просте раціональне рівняння: Його єдиний корінь - y = 1. Значить, тобто
Звідси b = a. тобто Корінням цього тригонометричного рівняння є сімейство: Неважко бачити, що воно задовольняє області визначення вихідного рівняння, а значить, і становить безліч його коренів.
Зауважимо, що рішення будь-якого рівняння, слід починати з пильної, уважного погляду, покликаного побачити в рівнянні, нерівності тощо що-небудь цікаве, особливе, якусь «родзинку», що дозволяє застосувати при вирішенні якийсь нестандартний прийом. Ця «родзинка» не завжди є, але прогледіти її прикро. В даному рівнянні маленька «родзинка» є: якщо в правій частині рівняння ми скористаємося (на жаль часто забутим абітурієнтами) властивістю логарифма: то відразу, як то кажуть, «вб'ємо двох зайців»: і позбудемося радикала, і перейдемо до одній підставі логарифма.
Отже, якщо r = 2, то Далі, маємо тригонометрическое рівняння Скористаємося формулою синуса подвійного аргументу:
Рішенням першого рівняння сукупності є сімейство: рішенням другого:
Необхідно провести перевірку знайдених коренів. Для цього випишемо умови, що задають область визначення вихідного рівняння:
Ясно, що перше з знайдених сімейств - сімейство сторонніх коренів, тому що порушено умова, а з другого сімейства сторонніми корінням є коріння виду: (тому що в цьому випадку, хоча но).
Таким чином, коріння вихідного комбінованого рівняння:
Внесемо множник два в лівій частині рівняння під логарифм як показник ступеня: і перейдемо до основи логарифма п'ять в лівій частині рівняння:
«Відкидаючи» логарифми, отримуємо: і далі, враховуючи, що і переходячи до різниці дробів в лівій частині рівняння:
Це квадратне рівняння щодо ctgx. коріння якого 1 і -5. Тобто маємо сукупність:
Рішенням першого рівняння сукупності є сімейство: рішенням другого: Тут застосовано тотожність:
Далі необхідно провести перевірку коренів. Як спосіб перевірки в даному випадку, оберемо безпосередню підстановку у вихідне рівняння. При цьому ясно, що мова йде про підстановці в вихідне рівняння лише одного значення належить даному сімейству. Цього достатньо. Зручніше за все, взяти значення n = 0 і х = -1. Але можна поступити ще простіше: в равносильности сукупностей
ми не сумніваємося, а тому в вихідне рівняння можна підставляти безпосередньо кожне з вийшов значень ctg x.
У кожному разі оберемо зручніший з описаних підходів.
Нехай і n = 0, тобто Тоді маємо:
Таким чином, сімейство: входить у безліч коренів вихідного рівняння.
Нехай тепер ctg x = -5 (тут реалізуємо другий підхід, бо здійснювати безпосередню підстановку x = -arcctg 5 незручно). Тоді, оскільки і. Далі, тому що ctgx <0, то sin x и cos x должны быть разных знаков; имеем: и или и . В первом случае во втором случае
Після підстановки у вихідне рівняння маємо:
Таким чином, сімейство також входить в безліч коренів вихідного рівняння.
За визначенням арифметичного квадратного кореня перейдемо до еквівалентної системи рівнянь.
На першому етапі вирішення рівняння з'ясуємо область допустимих значень і виконаємо тотожні перетворення:
Рішенням рівняння є:
Використовуємо в процесі вирішення формули пониження степеня, отримаємо:
Після приведення подібних доданків одержуємо рівняння, яке зводиться до квадратного рівняння.
Дане рівняння приводиться до квадратного за допомогою заміни змінної.
Нехай sin 2x = y. тоді:
По-перше, знайдемо область визначення функції, що виходить в даній тригонометрическое рівняння:
Таким чином, областю визначення даного рівняння є:
По-друге, вирішимо дане рівняння. Для цього слід виконати такі тотожні перетворення:
Вирішити тригонометрическое рівняння:.
Використовуємо в процесі вирішення формули пониження степеня:
Виконавши заміну змінних, отримаємо:
Використовуємо далі основну тригонометричну тотожність:
Якщо, то і, що суперечить основному тригонометричного тотожності, значить.
Розділимо обидві частини на, отримаємо:
де - дійсні числа, n - показник однорідності.
Оскільки , Отже, коріння є.
Розділимо обидві частини рівняння на, одержимо:
Оскільки і, то існує такий кут φ, що, а, тоді отримаємо:
Даний метод заснований на наступному. Розглянемо рівняння особливого виду:
Випадок 1. Якщо з = 0, то рівняння однорідне.
Випадок 2. Якщо з ≠ 0 і (тобто хоча б одне з чисел a або b не дорівнює 0), то розділимо обидві частини рівняння на, одержимо:
Оскільки і, то існує такий кут φ, що, тоді:
а) якщо, тобто , То коренів немає;
б) якщо, тобто , Тоді:
Перевіримо виконання нерівності:.
Очевидно, що, отже, коренів рівняння не має.
Виконаємо перетворення рівняння, використовуючи формули «універсальна тригонометрическая підстановка»:
При переході від рівняння (1) до рівняння (2), могла статися втрата коренів, значить необхідно перевірити, чи є коріння рівняння корінням даного рівняння.
0 + 4 (-1) = 5 - не вірно, значить, не є коріннями вихідного рівняння.
Далі зведемо записане рівність в квадрат і скористаємося формулою «квадрат суми»:
Розділимо на cos x ≠ 0, отримаємо:
Оскільки , При, то коренів немає.
Вирішити рівняння: 2cos 2x - 4sin x + 1 = 0.
Використовуємо формулу: і зробимо заміну - сторонній корінь (враховуємо, що).
Виконаємо зворотну заміну:.
Застосуємо наслідок з основного тотожності і зробимо заміну t = tg x:
Знайдемо підбором корінь t = -1 і розкладемо на множники ліву частину отриманого рівняння: (t + 1) (4 t 2 - t + 5) = 0. Дискримінант другого множника негативний, отже, інших коренів рівняння не має. Зворотній заміна:
Оскільки, a, рівняння можна записати у вигляді:. Перед нами так зване однорідне рівняння, для всіх доданків лівій частині якого сума ступенів sin 3x і cos 3x однакова.
Перевіркою можна переконатися, що cos 3x ≠ 0 для коренів цього рівняння, тому можна розділити обидві його частини на. Зробимо заміну: t = tg 3x. тоді. Зворотній заміна:
Вирішити рівняння: 5sin 4x - 12cos 4x = 6,5.
Розділимо обидві частини рівняння на 13:
Нехай тоді, і рівняння набуває вигляду: або звідки
Вирішити рівняння: sin 4x + sin 3x + cos 6x + cos 7x = 0.
Перетворимо в твір суму синусів і суму косинусів:
Тепер запишемо ліву частину рівняння у вигляді:
Це рівність можливо в двох випадках.
Застосуємо формулу приведення:
Вирішити рівняння: | sin 12x | + | sin 18x | = 0.
Сума модулів може дорівнювати нулю тільки в тому випадку, якщо при одному і тому ж значенні х обидва підмодульних вирази дорівнюють нулю. Отже, потрібно знайти спільні корені двох рівнянь:
Принципово важливим є те, що в рішеннях вказані різні цілочисельні параметри. Для спільних коренів має виконуватися рівність звідки
Оскільки n - ціле число, дріб повинна бути скоротливості, а це можливо лише тоді, коли k кратно трьом, тобто. Тоді рішення рівняння можна записати так:
Знайдемо безліч значень функції Очевидно, що Досліджуємо її на екстремум.
при х = 0 - знайдена критична точка.
Зліва від неї праворуч тобто це точка максимуму. Так як він є єдиним екстремумів, то при х = 0 функція приймає своє найбільше значення: f (0) = 5.
Вирішимо найпростіше тригонометрическое рівняння: З попереднього дослідження отримуємо, що рівність можливо тільки за умови звідки
Дійсно, це єдине цілочисельне рішення такого нерівності. тоді
Вирішити систему рівнянь:
Застосуємо метод алгебраїчного додавання: перейдемо до системи, рівняннями якої будуть сума і різниця вихідних рівнянь.
Знову складемо і віднімемо отримані рівняння:
Вирішити систему рівнянь:.
Використовуємо підстановку з другого рівняння:.
Застосуємо формулу приведення:
Вирішити систему рівнянь:
Віднімемо перше рівняння з другого і застосуємо формулу
Випадок 1: cos 4y = 1, тоді з другого рівняння, тобто cos 4x = 0. Отримана система двох найпростіших рівнянь:
Вирішуючи отриману систему найпростіших рівнянь, знаходимо другу групу коренів:
Ще раз нагадаємо, що рішення кожного рівняння системи містить свій цілочисельний параметр (рішенням буде кожна пара чисел, задана отриманими формулами, в яких ми можемо задавати n і k будь-які цілі значення, не обов'язково однакові).
Вирішимо спочатку найпростіше тригонометрическое нерівність де
Пряма ділить тригонометричну окружність на дві дуги. Рішенням нерівності відповідають точки на нижній дузі, ординати яких не більше. Тому в межах від до рішення має вигляд:.
Межі наступного проміжку рішень можна отримати звідси, змінивши кожну кордон на 2πn:
Зробивши зворотний заміну, отримаємо подвійну нерівність для х:
Вирішити нерівність: | tg x | ≥ 1.
Найменший позитивний період тангенса дорівнює π, тому досить знайти рішення нерівності на інтервалі, а потім додати до кордонів πn. Розкривши модуль, перетворимо нерівність в сукупність двох нерівностей:.
Дуги кола, що відповідатимуть їхнім рішенням, мають вигляд:
Звертаємо увагу на те, що точки не входять до рішення, оскільки при цих значеннях аргументу тангенс не існує. З огляду на періодичність, знаходимо остаточне рішення:
Уявімо cos 2x = 1 - 2sin 2 x і зробимо заміну: t = sin x. Тоді для t потрібно вирішити систему нерівностей:
Зворотній заміна призводить до рівняння sin x = -1, звідки і нерівності рішення якого:
Використовуємо те, що і зробимо заміну: t = sin 2x. Нерівність для t має вигляд:
Методом інтервалів знаходимо рішення:
Проводимо зворотну заміну і вирішуємо отримані тригонометричні нерівності:
Відповіддю буде об'єднання отриманих проміжків.