Математика тотожні перетворення тригонометричних виразів
Тотожні перетворення тригонометричних виразів
Основні формули тригонометрії
Переклад градусної міри кута в радіани і назад.
Нехай α - градусна міра кута, β - Радіанна, тоді справедливі формули:
Розглянемо спочатку досить прості завдання на застосування формул тригонометрії.
Обчислити значення sin α, якщо cos α = 0,3, α - кут в першій чверті.
Застосуємо основне тригонометричну тотожність, що зв'язує тригонометричні функції.
Так як за умовою завдання cos α = 0,3, то cos 2 # 945; = 0,09. Значить, sin 2 # 945; + 0,09 = 1, sin 2 # 945; = 1 - 0,09 = 0,91. Вирішуючи рівняння sin 2 # 945; = 0,91, отримуємо два випадки (), з яких, звертаючи увагу на те, який чверті належить шуканий кут, слід вибрати один. Згадаймо, що в першій чверті все тригонометричні функції мають знак «+». Отже,.
Розрахуйте значення tg α, якщо ctg α = 0,2.
Скористаємося формулою, що зв'язує тригонометричні функції y = tg α, y = ctg α. tg α # 8729; ctg α = 1. Підставляючи заданий в умові значення 0,2, отримуємо, що tg α # 8729; 0,2 = 1, звідки tg α = 5.
1) Скористаємося властивістю періодичності функції y = sin x. тоді.
2) Так як період функції y = tg x дорівнює π, отримуємо:.
3) Уявімо 75 ° у вигляді суми двох «зручних» доданків: 75 ° = 45 ° + 30 °. Отже,. Звернемося до табличних значень тригонометричних функцій, отримаємо:.
4). Остаточно отримуємо, що.
5) Для обчислення значення cos 15 ° представимо 15 ° як 15 ° = 45 ° - 30 ° (або 15 ° = 60 ° - 45 °). Тоді. Звернемося далі до табличних значень тригонометричних функцій. Отримуємо, що. Cледовательно,.
Окрему групу завдань цього типу складають завдання на обчислення одних тригонометричних функцій за відомими іншим.
Відомо, що sin α - cos α = 0,3. знайти:
2) sin 4 # 945; + Cos 4 # 945; ;
3) sin 6 # 945; + Cos 6 # 945; .
1) Зведемо в квадрат обидві частини заданого в умові прикладу рівності і використовуємо формулу «квадрат різниці», отримуємо, що:
sin 2 # 945; - 2sinα cosα + cos 2 # 945; = 0,09.
Згадаймо основне тригонометричну тотожність і застосуємо формулу синуса подвійного кута:
1 - sin 2 # 945; = 0,09, звідки:
sin 2 # 945; = 1 - 0,09 = 0,91.
2) Скористаємося отриманим результатом для відповіді на питання 2.
Для цього суму sin 4 # 945; + Cos 4 # 945; представимо в спеціальному вигляді:
sin 4 # 945; + Cos 4 # 945; = (Sin 4 # 945; + 2 sin 2 # 945; cos 2 # 945; + Cos 4 # 945; ) - 2 sin 2 # 945; cos 2 # 945; = (Sin 2 # 945; + Cos 2 # 945; ) 2 - 1/2 # 8729; sin 2 2α = 1 - 1/2 # 8729; 0,91 = 0,545.
3) Звернемо увагу, що для обчислення значення вираження sin 6 # 945; + Cos 6 # 945; можна представити у вигляді суми кубів.
sin 6 # 945; + Cos 6 # 945; = (Sin 2 # 945; ) 3 + (cos 2 # 945; ) 3 = (sin 2 # 945; + Cos 2 # 945; ) (Sin 4 # 945; - sin 2 # 945; cos 2 # 945; + Cos 4 # 945; ) = 1 # 8729; (0,545 - 1/4 # 8729; 0,91) = 0,3175.
Перевіркою можна переконатися, що при cos α = 0 наведене рівність невірно. Тому слід розділити чисельник і знаменник дробу на cos α (на підставі основного властивості дробу):
розкриваючи дужки, наведемо далі подібні доданки:
3tgα + 4 = 5tgα - 10, 2tgα = 14, отримуємо, що tgα = 7.
Обчислити cos α, якщо cos2α = 3/4 і
Як відомо, . З'ясуємо, в яких межах лежить кут α і який знак при цьому має його косинус. Перетворимо задану в умові завдання подвійне нерівність. Розділивши одночасно всі три частини подвійного нерівності на 2, отримаємо:
, тобто кут α розташовується в другій чверті і, отже, cos α <0.
У наведеній вище формулі виберемо знак «мінус»:
Знайти значення виразу:.
Виконаємо спрощення кожного дробу окремо.
З метою скорочення дробу скористаємося формулою «різниця кубів» і отримаємо:
Розглянемо далі вираз. Потрібно зауважити, що перше третє складові в сумі дають одиницю в силу основного тригонометричного тотожності. Таким чином:
Звернемося далі до перетворення другого дробу. Застосуємо одну з формул приведення:. Тому:
Обчислити sin10 ° sin30 ° sin50 ° sin70 °.
Використовуємо формулу перетворення добутку тригонометричних функцій у суму: sin10 ° sin50 ° = 1/2 (cos40 ° - cos60 °) = 1/2 cos 40 ° - 1/4. Підставами в первісний твір цей вислів і врахуємо, що sin30 ° = 1/2, отримуємо:
Розглянемо далі приклади спрощення тригонометричних виразів з довільним аргументом.
Так як чисельник заданої дробу маємо досить простий вигляд, почнемо з спрощення знаменника. Для цього застосуємо уявлення:
Наведемо отриману різницю дробів до спільного знаменника:
Довести тотожність при
Зокрема, в даному прикладі спробуємо спростити ліву частину, щоб отримати таке ж вираження, як справа. Для цього помножимо чисельник і знаменник подкоренного вираження на 1 + sin α:
Згадавши, що, отримуємо
Досліджуємо далі знак чисельника і знаменника підмодульних вираження:
sin α ≥ -1, тоді 1 + sin α ≥ 0 тому;
Аналогічним чином перетворимо другий доданок лівої частини:
що й потрібно було довести.
Знайти значення наступних тригонометричних виразів: sin 2α, cos 2α, tg 2α, якщо.
Випишемо формули для обчислення шуканих функцій:
З основного тригонометричного тотожності обчислимо:
Далі знайдемо значення шуканих виразів:
Наведемо ліву частину до 1:
Обчислити значення виразу:
Звернемо увагою, що
Далі, використовуючи формули приведення, отримаємо:
Скористаємося табличними значеннями і властивостями тригонометричних функцій:
Отже, значення виразу дорівнює 0.
Зручно при вирішенні таких завдань зробити заміну (наприклад, α = arcsin x) і працювати з більш звичним об'єктом - кутом α, що лежить в першій або четвертій чверті тригонометричного кола, синус якого дорівнює х. При цьому з'ясовується, що завдання набагато простіше, ніж здавалося спочатку.
Обчислити cos (4arctg 5).
Нехай α = arctg5. тоді tg α = 5. Потрібно знайти cos4α. Обчислимо спочатку cos2α. використовуючи універсальну підстановку:
Тоді отримуємо, що:
Висловити через все зворотні функції
Нехай. Кут α лежить в четвертій чверті, отже, cos α> 0.
Знайдемо всі тригонометричні функції кута:
У четвертій чверті знаходяться арктангенса негативних чисел, тому можна стверджувати, що.
Але, так як арккосинуса позитивних чисел належать першої чверті. В силу парності косинуса cos (-α) = cos α, при цьому, тобто, тоді.
Арккотангенса негативних чисел розташовані в другій чверті. Наприклад,, отже,. Таким чином, кут α виражений через все зворотні функції.
Знайти arcsin (sin 12).
За умовами задачі потрібно знайти кут, синус якого дорівнює синусу кута в 12 радіан і який належить проміжку. Зауважимо, що, тому.
Оскільки, кут 12 - 4π є шуканим кутом: його синус дорівнює sin 12, і він знаходиться в області можливих значень арксинуса.
Відповідь: arcsin (sin12) = 12 - 4π.
Введемо два кута: Обидва вони лежать в першій чверті, отже, всі їхні тригонометричні функції позитивні. Ми знаємо, що . Потрібно знайти синус суми цих кутів, а для цього потрібно знати їх синуси і косинуси.