Квадратне рівняння; уявні і комплексні числа
Квадратне рівняння; уявні і комплексні числа
Рівняння алгебри 2-го ступеня інакше називається квадратним. Найбільш загальний вигляд квадратного рівняння з одним невідомим є
де a, b, c - дані числа або літерні вирази, що містять відомі величини (причому коефіцієнт а не може бути дорівнює нулю, інакше рівняння буде не квадратним, а 1-го ступеня). Розділивши обидві його частини на a, ми отримаємо рівняння виду
(P = b / a; q = c / a).
Квадратне рівняння такого виду називається наведеним; рівняння ах 2 + bx + c = 0 (де а ≠ 0), називається неприведення. Якщо одна з величин b, с або обидві разом дорівнюють нулю, то квадратне рівняння називається неповним; якщо і b і з не рівні нулю, квадратне рівняння називається повним.
приклади
3x 2 + 8x -5 = 0 - повне неприведення квадратне рівняння;
3x 2 - 5 = 0 - неповне неприведення квадратне рівняння;
x 2 - ax = 0 - неповне наведене квадратне рівняння;
x 2 - 12x +7 = 0 - повне наведене квадратне рівняння.
Неповне квадратне рівняння виду
x 2 = m (m - відома величина)
є найпростішим типом квадратного рівняння і разом з тим очерь важливим, так як до нього наводиться рішення будь-якого квадратного рівняння. Рішення цього рівняння має вигляд
Можливі три випадки:
1) Якщо m = 0, то і x = 0.
2) Якщо m - позитивне число, то його квадратний корінь може мати два значення: одне позитивне, інше негативне. Абсолютні величини цих значень однакові. Наприклад, рівняння x 2 = 9 задовольняється значенням х = + 3 і х = - 3. Іншими словами, x має два значення: +3 і - 3. Часто це висловлюють тим, що перед радикалом ставлять два знака - плюс і мінус.
При такому написанні мається на увазі, що вираз позначає загальну абсолютну величину-двох значень кореня; в нашому прикладі - число 3. Величина може бути ірраціональним чиcле. Зауважимо, що і сама m може бути ірраціональним числом. Наприклад, нехай потрібно вирішити рівняння
(Геометрично це означає знайти довжину сторони квадрата рівного за площею колі з радіусом 1). Його корінь x = √π.
3) Якщо m - негативне число. то рівняння х 2 = m (наприклад, х 2 = - 9) не може мати ніякого позитивного і ніякого негативного кореня: адже і позитивне і негативне число по зведенні в квадрат дає позитивний число. Таким чином, можна сказати, що рівняння х 2 = - 9 не має рішень, тобто число не існує.
Але з таким же підставою до введення негативних чисел можна було говорити, що і рівняння 2x + 6 = 4 не має рішень. Однак після введення негативних чисел це рівняння стало вирішуваним. Точно так же рівняння х 2 = - 9, що не має рішень серед позитивних і негативних чисел, стає розв'язаним після введення нових величин - квадратних коренів з негативних чисел. Ці величини були вперше введені італійським математиком Кардано в середині 16 століття в зв'язку з рішенням кубічного рівняння. Кардано назвав ці числа «софістичними» (т. Е. «Хитромудрими»). Декарт в 30-х роках 17 століття ввів найменування «уявні числа», яке, на жаль, утримується до сих пір. На противагу уявним числам перш відомі числа (позитивні і негативні, в тому числі ірраціональні) стали називати дійсними або речовими. Сума дійсного і уявного числа називається комплексним числом * .Часто і комплексні числа називають уявними.
Ввівши в розгляд уявні числа, можна сказати, що неповне квадратне рівняння x 2 = m завжди має два кореня. Якщо m> 0, ці корені дійсні, вони мають однакову абсолютну величину і різні за знаком. Якщо m = 0, обидва вони дорівнюють нулю; якщо m