Кут між прямими
Якщо прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом. . тоді кут між ними обчислюється за допомогою формули
· Умова паралельності прямих має вигляд:.
· Умова перпендикулярності прямих має вигляд:. або.
Приклад. Дано прямі. . . Є між ними паралельні і перпендикулярні прямі?
Знайти кути між прямими.
Знайдемо кутові коефіцієнти: ...
. Так як . отже, паралельних прямих немає.
Твір кутових коефіцієнтів пар прямих і. і не дорівнює -1, тому прямі. . НЕ перпендикулярні. Але. то пряма перпендикулярна прямій.
Якщо прямі і задані загальними рівняннями і. то
v кут між ними обчислюється за допомогою формули
де і - нормальні вектори прямих і.
v умова паралельності прямих і має вигляд
Ця умова випливає із того, що якщо прямі і паралельні, то їх нормальні вектори і колінеарні, а це значить, що їх відповідні координати пропорційні.
v умова перпендикулярності прямих і має вигляд
Ця умова випливає з того, що якщо прямі і перпендикулярні, то і їх нормальні вектори і теж перпендикулярні, а це значить, що скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю.
Приклад 4.4. Обчисліть кут між прямими
а) Скористаємося формулою (8). Підставляючи в неї значення і. знаходимо
б) Підставимо значення. . . в формулу (11):
в) Тут. знайдемо.
Так як . то дані прямі перпендикулярні. (За формулою (8) отримуємо:).
Розглянемо пряму і точку. що не належить прямій. Відстанню від точки до прямої називається довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на пряму.
Відстань від точки до прямої обчислюється за формулою
Приклад. Дана точка і пряма. Знайти відстань від точки до прямої.
Рішення. Підставами координати точки в рівняння. Отримаємо. значить, точка не лежить на прямій. Знайдемо Відстань від точки до прямої: (од.).
Пряма на площині і її рівняння