Кривизна кривої - це

Зазвичай кривизна визначається для кожної точки на «об'єкті» і виражається як значення деякого диференціального виразу 2-го порядку. Іноді кривизна визначається в інтегральному сенсі, наприклад, як міра. такі визначення використовують для «об'єктів» зниженою гладкості. Як правило, тотожне перетворення на нуль кривизни в усіх точках тягне збіг (локальне, але не глобальне) досліджуваного «об'єкта» з «плоским» об'єктом.

У цій статті наводяться тільки кілька найпростіших прикладів визначень поняття кривизни.

кривизна кривої

Нехай γ (t) - регулярна крива в d -мірному евклідовому просторі. параметрезованих довжиною. тоді

називається кривизною кривої γ в точці p = γ (t). тут позначає другу похідну по t. вектор

називається вектором кривизни γ в точці p = γ (t0).

Для кривої, заданої параметрично в загальному випадку (параметр не обов'язково є довжиною), кривизна відображається формулою

,

де і відповідно позначають першу і другу похідну радіус-вектора γ в необхідній точці.

Для того щоб крива γ збігалася з деяким відрізком прямої або з усією прямий, необхідно і достатньо, щоб кривизна (або вектор кривизни) тотожно дорівнювала нулю.

Величина, зворотна кривизні кривої, називається радіусом кривизни; він збігається з радіусом дотичної кола в даній точці кривої. Центр цього кола називається центром кривизни.

кривизна поверхні

Нехай Φ є регулярна поверхню в тривимірному евклідовому просторі. Нехай p - точка Φ. Tp - дотична площину до Φ в точці p. n - одинична нормаль до Φ в точці p. а - πe площина, що проходить через n і деякий одиничний вектор e в Tp. Крива γe. получающаяся як перетин площині πe з поверхнею Φ. називається нормальним перетином поверхні Φ в точці p в напрямку e. величина

де позначає скалярний твір. а k - вектор кривизни γe в точці p. називається нормальної кривизною поверхні Φ в напрямку e. З точністю до знака нормальна кривизна дорівнює кривизні кривої γe.

У дотичній площині Tp існують два перпендикулярних напрямки e1 і e2 такі, що нормальну кривизну в довільному напрямку можна уявити за допомогою так званої формули Ейлера:

де α - кут між e1 і e2. a величини κ1 і κ2 нормальні кривизни в напрямках e1 і e2. вони називаються головними кривизнами. а напрямки e1 і e2 - головними напрямками поверхні в точці p. Головні кривизни є екстремальними значеннями нормальних кривизн. Структуру нормальних кривизн в даній точці поверхні зручно графічно зображати за допомогою індикатриси Дюпена.

H = κ1 + κ2. (Іноді)

називається середньої кривизною поверхні. величина

називається гаусом кривизною поверхні.

Гауссова кривизна є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь, зокрема не змінюється при ізометричних згинаннях.

література

Дивитися що таке "Кривизна кривої" в інших словниках:

Кривизна - У диференціальної геометрії, кривизна збірна назва ряду кількісних характеристик (скалярних, векторних, тензорних), що описують відхилення того чи іншого геометричного «об'єкта» (кривої, поверхні, ріманова простору і т. ... ... Вікіпедія

Кривизни - збірна назва ряду кількісних характеристик (чисельних, векторних, тензорних), що описують відхилення властивостей того чи іншого об'єкта (кривої, поверхні, ріманова простору та ін.) Від відповідних об'єктів (пряма, площина, ... ... Математична енциклопедія

Кривизна - величина, що характеризує ступінь відхилення кривої лінії від дотичній або кривої поверхні від дотичної площини. Кривизна кривої в будь-якої її точки дорівнює зворотній величині радіусу кривизни в цій точці. Дане поняття узагальнюється на ... ... Почала сучасного природознавства

КРИВИЙ - КРИВИЙ, непрямолінійний, що йде не по прямій межах. Косий, який ухилявся від рівня або схилу; кривої, який ухилявся від прямої риси, гнутий, лучковий, луковатий. Ізлучисте. | Одноокий, сліпий на одне око. | ряз. кульгавий, клишоногий. З ... ... Тлумачний словник Даля

кривизна - и; ж. 1. до Кривий (1 зн.). К. стелі була помітна. 2. Матем. Величина, що характеризує ступінь відхилення кривої лінії або поверхні від дотичній прямій (дотичній площині). К. поверхні. * * * Кривизна величина, що характеризує ... ... Енциклопедичний словник

Кривизни - кількостей. характеристика, що описує відхилення кривої, поверхні, ріманова простору та ін. відповідно від прямої, площини, евклідового простору та ін. Зазвичай поняття К. вводиться локально, т. е. в кожній точці. В декартових ... ... Фізична енциклопедія

Кривизна мульди зрушення - вертикальна деформація земної поверхні, що визначається як відношення нахилів двох сусідніх інтервалів мульди до напівсуми довжин цих інтервалів. Джерело ... Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

Кривизни - величина, що характеризує відхилення кривої (поверхні) в околиці даної її точки від дотичній прямій (дотичній площині). Поняття кривизни звертається на об'єкти більш загальної природи. Напр. в ріманової геометрії кривизна представляє ... ... Великий Енциклопедичний словник

Кривизни - кривизна, кривизни, дружин. 1. тільки од. отвлеч. сущ. до кривої; викривленість, перекошене. 2. Викривлене, криве місце. Тлумачний словник Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 ... Тлумачний словник Ушакова

Схожі статті