Комплексні числа
1. Поняття уявної одиниці
Припустимо, що існує таке число, квадрат якого дорівнює - 1. Позначимо це число буквою i; тоді можна записати: i 2 = - 1.
Число i будемо називати уявною одиницею (i - початкова буква французького слова imaginaire - «уявний»), а попереднє рівність будемо вважати визначенням уявної одиниці.
З цієї рівності знаходимо
Введення уявної одиниці дозволяє нам тепер витягувати коріння квадратні з негативних чисел.
2. Ступені уявної одиниці
Розглянемо ступеня уявної одиниці:
Якщо виписати всі значення ступенів числа i. то ми отримаємо таку послідовність: i. - 1, - i. 1, i. - 1, - i. 1 і т. Д. Легко бачити, що значення ступенів числа i повторюються з періодом, рівним 4.
Таким чином, якщо показник ступеня числа i ділиться на 4, то значення ступеня дорівнює 1; якщо при розподілі показника ступеня на 4 в залишку виходить 1, то значення ступеня одно i; якщо при розподілі показника ступеня на 4 виходить залишок 2, то значення ступеня одно - 1; нарешті, якщо при розподілі на 4 залишок дорівнює 3, то значення ступеня одно - i. Користуючись цим, можна обчислювати будь-яку ступінь числа i.
3. Визначення комплексного числа
Ми знайомі з дійсними числами і з уявними одиницями. Розглянемо тепер числа нового виду.
Визначення 1. Числа виду a + bi. де a і b - дійсні числа, i - уявна одиниця, будемо називати комплексними.
Число a будемо назвати дійсною частиною комплексного числа, bi - уявною частиною комплексного числа, b - коефіцієнтом при уявній частині. Можливі випадки, коли дійсні числа a і b можуть бути рівними нулю. Якщо a = 0, то комплексне число bi називається чисто уявним. Якщо b = 0, то комплексне число a + bi одно a і називається дійсним. Якщо a = 0 і b = 0 одночасно, то комплексне число 0 + 0i дорівнює нулю. Отже, ми отримали, що дійсні числа і чисто уявні числа представляють собою окремі випадки комплексного числа.
Запис комплексного числа у вигляді a + bi називається алгебраїчній формою комплексного числа.
Два комплексних числа a + bi і c + di домовилися вважати рівними тоді і тільки тоді, коли в окремо рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при мнимої одиниці, т. Е. A + bi = c + di. якщо a = c і b = d.
Рішення. а) Згідно з умовою рівності комплексних чисел маємо 3y = 15, 5x = - 7. Звідси
б) З умови рівності комплексних чисел слід
Помноживши друге рівняння на 3 та склавши результат з першим рівнянням, маємо 5x = 25, т. Е. X = 5. Підставами це значення в друге рівняння: 5 - y = 6, звідки y = - 1. Отже, отримуємо відповідь: x = 5, y = - 1.
4. Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі
Додавання, віднімання, множення комплексних чисел в алгебраїчній формі виробляють за правилами відповідних дій над многочленами.
Звернемо увагу на те, що при використанні формули (*) завжди виходить окремий випадок комплексного числа - дійсне число, а комплексні числа, які ми множимо, є сполученими.
Визначення 2. Два комплексних числа називаються сполученими. якщо вони відрізняються один від одного тільки знаками перед уявною частиною.
Ми бачимо, що твір двох сполучених чисел завжди дорівнює дійсному числу. Скористаємося цим властивістю для виконання ділення двох комплексних чисел. Щоб виконати поділ, зробимо додаткову дію: помножимо ділене і дільник на комплексне число, поєднане делителю.
Приклад 6. Виконати розподіл:
Зробимо множення для діленого і дільника окремо:
44-55. Виконайте ділення:
56-60. Виконайте дії:
Розглянемо рішення квадратних рівнянь, дискриминант яких від'ємний.
Приклад 7. Розв'яжіть рівняння: